2021　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=(x-1)\sqrt{|x-2|}$により曲線$C\text{：}y=f(x)$を定める．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(3)　原点を通る直線$l$が$C$上の点$(t,f(t))$において$C$に接している．このような$t$のうち，$1<t<2$をみたすものをすべて求めよ．

【２】　座標平面上の曲線$C$を次で定める．

$C\text{：}\{\begin{array}{c}x=2\sqrt{2}{t}^2\\ y={(t-1)}^2\end{array}$$\text{（}-1\leqq t\leqq 1\text{）}$

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$との距離の最小値$d$を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$x=2\sqrt{2}$で囲まれる図形を直線$y=1$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して，$x$の$1$次式$P_n$を次で定める．

$R_1=x\text{，}$$P_{n+1}=(n+3)P_n+(n+1)!$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$P_n$の$x$について$1$次の項の係数を$a_n$とし，$P_n$の定数項を$b_n$とする．

(1)　$P_4$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}-{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}}$を$n$で表せ．

(4)　数列$\left\{{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}\right\}$の一般項を求めよ．

(5)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めて，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{b_k}{3^k}}$を求めよ．

【４】　座標平面において，直線$y=(2+\sqrt{3})x$に関して点$\mathrm{A}$$(2\sqrt{2},0)$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．$r>0\text{，}$$0\leqq \theta \leqq \pi$をみたす$r$と$\theta$に対して，点$\mathrm{P}$$(r\cos \theta ,r\sin \theta )$をとる．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$6$の円と半直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{\angle AOB}$を求めよ．

(2)　${\mathrm{BP}}^2$を$r$と$\theta$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{BQ}$の垂直二等分線が$\mathrm{P}$を通るとき，$r$を$\theta$で表せ．

(4)　線分$\mathrm{BQ}$の垂直二等分線が$\mathrm{P}$を通り$r={\displaystyle \frac{7}{2}}$であるとき，$\theta$を求めよ．