2021　名古屋工業大学　推薦MathJax

【１】

(1)　曲線$y=(x-1)(x-2)(x-3)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$をみたす実数$x$と自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(\cos x-\sin x)}^k$

と定める．数列$\{S_n\}$が収束する$x$の範囲を求め，$x$がその範囲にあるときに極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$の$3$辺の長さは

$\mathrm{OA}=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AB}=2$

である．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{MN}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$を求めよ．