2021　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　$a=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\text{，}$$b=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}}$とする．

問１　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}$を$a$を用いた式で表せ．

問２　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{14}}$を$b$を用いた式で表せ．

問３　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{35}}$を$a$と$b$を用いた式で表せ．

【２】　$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3$はそれぞれ$1\text{，}$$2\text{，}$$4$のいずれかの値を取るとする．

問１　等式

$x_1\times x_2\times x_3=y_1\times y_2\times y_3$

を満たすような$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3$の組は何通りあるか求めよ．

問２　等式

$x_1\times x_2\times x_3=4\times y_1\times y_2\times y_3$

を満たすような$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3$の組は何通りあるか求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\log }_{3}n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

問１　不等式

$n!>3^n$

を満たす自然数$n$のうち，最小のものを求めよ．

問２　問１で求めた最小の自然数を$N$とする．$n$が$N$以上の自然数のとき，

${\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}>1$

となることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて示せ．

【４】　$a\text{，}$$b>0$として，座標平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2b)$をとり，線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2\text{，}$${\mathrm{M}}_3$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$3$点${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2\text{，}$${\mathrm{M}}_3$を通る円$C$の方程式を求めよ．

問２　点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線を引いてできる交点$\mathrm{P}$は，円$C$上にあることを示せ．

問３　さらに$a^2+b^2=1$を満たしながら$a\text{，}$$b$が変化するとき，線分$\mathrm{OP}$の長さが最大になるのは，点$\mathrm{P}$が点${\mathrm{M}}_3$に一致するときであることを示せ．

【５】　$a$を正の定数とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　$y=a^x$と$y=x$のグラフが接するときの$a$の値を求めよ．

問２　問１の条件の下で，曲線$y=a^x\text{，}$直線$y=x\text{，}$及び$y$軸によって囲まれる部分を図示し，その面積を求めよ．