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2021-10501-0101
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2021 三重大学 前期
人文,教育,医(看護学科),生物資源学部
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) a, b が正の数であるとき, a, b の相加平均は a , b の相乗平均以上であることを示せ.さらに,等号が成立するための条件を求めよ.
2021-10501-0102
人文,教育,工,医(医,看護学科),生物資源学部
(2) 関数 y=sin ⁡2⁢x- sin⁡x-cos ⁡x の最大値と最小値を求めよ.ただし,最大値および最小値を与える x の値は求めなくてよい.
2021-10501-0103
(3) log12 ⁡(2⁢ x2-3⁢ x-9)> log12⁡ (x2- 4⁢x+3 ) を満たす x の範囲を求めよ.
2021-10501-0104
(4) 連立不等式 y≦x -2, y≧2⁢x -8, y≧0 を満たす領域の点 (x ,y) について x2 +(y- 4)2 の最小値と最大値,およびそれらを与える (x ,y) の値を求めよ.
2021-10501-0105
(5) 4 の倍数 4 , 8, 12, ⋯, 200 がひとつずつ書いてある赤玉 50 個が入っている袋と,自然数 1 , 2, 3, ⋯, 100 がひとつずつ書いてある白玉 100 個が入っている袋がある.それぞれの袋から玉を 1 個ずつとり出すとき,赤玉に書いてある数が白玉に書いてある数より大きくなる確率を求めよ.
2021-10501-0106
【2】 O , A, B は平面上の点で, |OA →|= 7, |OB →| =2, |AB →| =1 を満たすとする. a→= OA→ , b→= OB→ として,以下の問いに答えよ.
(1) a→⋅ b→=5 を示せ.さらに ▵OAB の面積を求めよ.
(2) OP→⋅ (2⁢a →-3⁢ b→) =-1 となる平面上の点 P に対して, |OP → | の最小値を求めよ.さらに,このときの OP→ を a→ と b→ を用いて表せ.
(3) OQ→ =s⁢ a→+t⁢ b→ とおく. s≧0 , t≧0 で OQ→ ⋅(2⁢ a→-3 ⁢b→ )≧- 12 を満たす点 Q の存在する範囲はどのような図形になるか.また,その面積を求めよ.
2021-10501-0107
人文,医(看護学科),学部
【3】 h⁡(x ), f⁡(x ) を
h⁡(x )= ∫0x |x-2⁢ t|⁢ dt, f⁡(x )=-x3 -3⁢x2 -3⁢x+ 2⁢(x+ 4)⁢h⁡ (x)
と定める.以下の問いに答えよ.
(1) x≧0 の場合と x< 0 の場合に分けて h⁡( x) を x の関数として表せ.また f⁡ (-3) =f⁡(- 12 )=f⁡ (0)= f⁡(3 )=0 を示せ.
(2) x>0 における関数 f⁡ (x) の極値を求めよ.
(3) 曲線 y=f ⁡(x ) の (0 ,0) 以外の点における接線で,傾きが 1 のものをすべて求めよ.
2021-10501-0108
教育,生物資源学部
【3‐1】,【3‐2】から1題選択
【3‐1】 f⁡(x )=a⁢ x⁢e-a ⁢x とする.ここで e は自然対数の底を表し, a は正の定数とする.
(1) a=1 のときの y=f ⁡(x ) の増減とグラフの凹凸を調べ,概形を描け.なお,必要ならば lim x→+∞ x⁢e- x=0 を使ってよい.
(2) 関数 f⁡ (x) は a の値によらず一定の最大値を持つことを示せ.
(3) ∫0 1af⁡ (x)⁢ dx を求めよ.
2021-10501-0109
【3‐2】 以下の問いに答えよ.
(1) 整式 f⁡ (x) と実数 α に対し, f⁡(x ) を (x -α)2 で割ったときの商を q⁡ (x) , 余りを r⁡ (x) とする.このとき, r⁡(x )=f⁡ (α)+ c⁢(x -α) ( c は定数)と表されることを示せ.また
limx→α f ⁡(x) -f⁡(α )x- α=c
となることを示せ.
(2) 4 次の整式 f⁡( x) に対して f⁡( α)=f ′⁡(α )=0 , f⁡(β )=f′ ⁡(β) =0 となる実数 α , β (α <β) が存在するとき, f⁡(x )=k⁢ (x-α )2⁢ (x- β)2 ( k は定数)と表されることを示せ.
(3) g⁡(x )=x4 -2⁢x2 +3⁢x- 2 とする.曲線 y=g ⁡(x ) と,直線 y=m ⁢x+n が異なる 2 点で接するとき,接点の x 座標 α , β (α <β ) と m , n を求めよ.
(4) (3)の設定の下で,曲線 y=g ⁡(x ) と直線 y=m ⁢x+n で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2021-10501-0110
工,医(医学科)学部
(1) ベクトル a→ =(1, 2,3) , b→= (2,−3 ,−1) に対して, a→⋅ b→ のなす角を求めよ.さらに a→ と直交し, b→ とも直交するベクトルで,長さが 3 のものをすべて求めよ.
2021-10501-0111
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(3) 虚部が正で |z |=3 となる複素数 z に対して,複素数平面上の 3 点 A ⁡(z ), B⁡ (z2 ), C⁡ (z3 ) を考える. ∠BAC が直角となるとき, z を求めよ.
2021-10501-0112
(4) a, b, c が正の数であるとき, (a b+1)⁢ (bc +1)⁢ (ca +1) の最小値を求めよ.またそのときの a , b, c の条件を求めよ.
2021-10501-0113
【2】 数列 {a n} が a1 =1, a2=1 を満たすとする.また,数列 {b n} を {a n} の階差数列とする. 0 以上の実数 t があって, {bn } の階差数列が {t ⁢an } になっているとき,以下の問いに答えよ.
(1) t=0 のとき,および t=1 のとき, an (n ≧3) を n で表せ.
(2) t≠0 , t≠1 とする.変数 x , y, z に対して,条件 x-2 ⁢y+( 1-t)⁢ z=0 と条件 x-α ⁢y=β⁢ (y-α⁢ z) が同値であるような実数の組 (α ,β) をすべて求め,それそれを t を用いて表せ.
(3) t=4 のとき, an (n≧ 3) を n で表せ.
2021-10501-0114
工学部
【3】 以下の問いに答えよ.
(1) 2-2 3 と 1 と log⁡3 の大小関係を求めよ.
(2) f⁡(x )={1- log⁡(2⁢ cos⁡x) }⁢cos⁡x とおく.区間 - π6≦x ≦π3 における f⁡ (x) の最大値と最小値を求めよ.
(3) ∫- π6π3 {1- log⁡(2 ⁢cos⁡x) }⁢cos⁡ x⁢sin⁡x⁢ dx を求めよ.
2021-10501-0115
医(医学科)学部
【3】 正の定数 p と平面上の点 (x ,y) に対して,次のようにおく.
f=(2⁢ p−x⁢y) ⁢∫0 p⁢π cos⁡t 2⁢p ⁢dt+ ∫01t ⁢et⁢ dt
u=p⁢x− y
また平面上の曲線 C を次の方程式で定める.
C:p2 ⁢x2+ y2−1= 0
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) f を x , y, p を用いて表せ.
(2) C 上で u がとる値の範囲を求めよ.
(3) C 上で u f がとる値の範囲を求めよ.