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2021-10501-0201
2021 三重大学 後期
教育・工学部
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) k を定数とする.放物線 y=x 2−4⁢x +8 と直線 y=k ⁢x−k+1 との共有点の個数を調べよ.
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数学入試問題さんの解答(PDF)へ
(2) 平面上の 3 点 A , B, C に対して, ▵ABC の重心の座標が (1 ,1), 辺 AB の中点の座標が (3,0 ), 辺 BC を 1:4 に内分する点の座標が (1 ,3) であるとする.このとき, A , B, C の座標を求めよ.
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(3) 4x−3 ⋅2x+1 +8<0 を満たす x の範囲を求めよ.
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(4) 数列 [a n} を a1 =3, an+1 =an an+1 (n= 1, 2, 3, ⋯) により定める. {an } の一般項を求めよ.
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(5) z3=- z3‾ で, z3 の虚部が 0 より大きく 27 より小さいような複素数 z の全体を図示せよ.
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【2】 実数 t , x, y に対して, f=cos⁡x- t⁢sin⁡x , g=(cos ⁡x-t⁢sin ⁡x)⁢ (cos⁡y -t⁢sin⁡ y) とおく.以下の問いに答えよ.
(1) t を正の定数とする. 0<x<π において f がとる値の範囲を t を用いて表せ.
(2) t を正の定数とする. 0<x<π , 0<y<π において g がとる値の範囲を t を用いて表せ.
(3) x, y を 0<x <π, 0<y<π を満たす定数とする. t>0 において g がとる値の範囲を x , y を用いて表せ.
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【3】 以下の問いに答えよ.
(1) 関数 y=x -2⁢cos⁡x (0 ≦x≦2⁢ π) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べよ.
(2) ∫x⁢ cos⁡x⁢ dx および ∫ cos2⁡x ⁢dx を求めよ.
(3) 曲線 y=x- 2⁢cos⁡x (0≦ x≦2⁢π ) と x 軸,および 2 直線 x=0 , x=2⁢ π で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.