2021　三重大学　後期生物資源学部MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=90\mathrm{°}$である四角形$\mathrm{ABCD}$は，半径$2$の内接円をもつ．内接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{辺DA}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{BR}$と内接円の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{BT}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{DC}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{SQ}$を求めよ．

【２】　次の各問(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$f(x)+x{f}^{\prime }(x)=2x^2-6x+1$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)-{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}=2x^2-6x+1$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(3)　放物線$y=2x^2-6x+1$とこの放物線の$x=0$における接線および$x=4$における接線で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　金色と銀色の$2$種類のコインがある．$\mathrm{A}$が$1$枚の金色のコイン，$\mathrm{B}$が$3$枚の銀色のコイン，ロボットが$\mathrm{B}$とは別の$3$枚の銀色のコインをそれぞれ同時に投げる．金色のコインの表が出たら$300$点を持ち点に加え，銀色のコインの表が出たら$1$枚につき$100$点を持ち点に加える．ただし，$\mathrm{A}$の持ち点は，$\mathrm{A}$が出した表の枚数とロボットが出した表の枚数で決まり，$\mathrm{B}$の持ち点は，$\mathrm{B}$が出した表の枚数とロボットが出した表の枚数で決まる．たとえば，$\mathrm{A}$が表を出し，$\mathrm{B}$が$3$枚すべて裏を出し，ロボットが表を$2$枚出した場合，$\mathrm{A}$の持ち点は$500$点，$\mathrm{B}$の持ち点は$200$点となる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$の持ち点が$300$点以上となる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の持ち点が$x$点以上となる確率が，$\mathrm{B}$の持ち点が$x$点以上となる確率よりも高くなる点数$x$の最小値を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$の持ち点が$300$点以上のとき，$\mathrm{A}$の持ち点が$\mathrm{B}$の持ち点以上となる確率を求めよ．

(4)　この試行を$10$回繰り返したとき，各回の$\mathrm{A}$の持ち点と$\mathrm{B}$の持ち点が右の表のようになった．このとき，$\mathrm{A}$の持ち点と$\mathrm{B}$の持ち点の相関係数を求めよ．