2021　滋賀大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さはそれぞれ$\mathrm{AB}=x\text{，}$$\mathrm{BC}=x+1\text{，}$$\mathrm{CA}=x-1$であるとしその外接円と内接円をそれぞれ$O_1\text{，}$$O_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$O_1$の半径$R$を$x$を用いて表せ．

(3)　$O_2$の半径$r$を$x$を用いて表せ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$と$O_2$の接点を頂点とする三角形の面積を$x$を用いて表せ．

【２】　$a\text{，}$$r$を自然数とし，初項が$a\text{，}$公比が$r$の等比数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$を$\{a_n\}$とする．また，自然数$N$の桁数を$d(N)$で表し，第$n$項が$b_n=d(a_n)$で定まる数列$b_1,b_2,b_3,\cdots$を$\{b_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$を用いてもよい．

(1)　$a=43\text{，}$$r=47$のとき，$b_2$と$b_3$を求めよ．

(2)　$a=r=9$のとき，$b_n=n$となる$n$のうちで，最大のものを求めよ．

(3)　$a=1$のとき，$1<r<500$において，$\{b_n\}$が等差数列となる$r$の値をすべて求めよ．

【３】　$4$個のさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$の目または$6$の目が少なくとも$1$つ出る確率を求めよ．

(2)　$1$の目が少なくとも$1$つ出るが，$6$の目は$1$つも出ない確率を求めよ．

(3)　$1$の目と$6$の目のどちらも少なくとも$1$つ出る確率を求めよ．

【４】　$a$を定数とし，曲線$C\text{：}y=x{(x-2)}^2$と直線$l\text{：}y=ax$を考える．$C$と$l$は異なる$3$点で交わり，交点の$x$座標はそれぞれ$0$以上とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$C$と$l$とで囲まれた$2$つの図形の面積が等しくなるように$a$の値を定めよ．

【３B】　次の問いに答えよ．なお，付表の正規分布表を利用してよい．

(1)　$a$を正の定数とする．確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，

$P(|Z|\geqq a)=2P(Z\geqq a)$

となることを示せ．

(2)　確率変数$X$が正規分布$N(m,{\sigma }^2)$に従うとき，

$P(|X-m|\geqq {\displaystyle \frac{\sigma }{4}})$

を求めよ．ただし，小数第$4$位を四捨五入せよ．

(3)　母平均$m\text{，}$母標準偏差$\sigma$の正規分布に従う母集団から大きさ$n$の無作為標本を抽出するとき，その標本平均$\bar{X}$について，

$P(|\bar{X}-m|\geqq {\displaystyle \frac{\sigma }{4}})\leqq 0.02$

をみたす最小の$n$を求めよ．

【４D】　$t>0$に対し，

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4t}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\log (t+{\displaystyle \frac{1}{2t}}-x)$

とする．$f(x)$を最大にする$x$の値を$g(t)$とし，$f(x)$の最大値を$h(t)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(t)$および$h(t)$を求めよ．

(2)　$t$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 2$の範囲で動くとき，$x=g(t)\text{，}$$y=h(t)$と表される曲線の長さを求めよ．