2021　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点$\mathrm{Q}$$(x,y)$について，$x\text{，}$$y$がともに有理数であるとき，$\mathrm{Q}$を有理点という．

(1)　$\mathrm{P}$を曲線$x^2-y^2=1$上の点とする．$\mathrm{P}$を通る傾き$1$の直線と$x$軸の交点が有理点ならば，$\mathrm{P}$も有理点であることを示せ．

(2)　$r$を正の実数とする．曲線$x^2-y^2=1$上の有理点のうち，原点との距離が$r$より大きいものがあることを示せ．

(3)　曲線$x^2-6y^2=7$上に有理点がないことを示せ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を$p<0<q<a<b$を満たす実数とする．座標平面上で曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{(x-a)(x-b)}}$

を考える．曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積$S(p)$は，曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸および直線$x=q$で囲まれた部分の面積$S(q)$と等しいとする．$S=S(p)=S(q)$とおく．次を示せ．

(1)　$(p+q)ab=pq(a+b)$

(2)　$q<{\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$

(3)　$S<{\displaystyle \frac{1}{b-a}}\log {\displaystyle \frac{b}{a}}$

(4)　$S<{\displaystyle \frac{1}{a}}$

【３】　複素数平面上において，単位円上に異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$3$直線$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$のいずれの上にもない点$\mathrm{P}(w)$を考える．$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を，それぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

　ここで，単位円とは原点を中心とする半径$1$の円のことである．また，点$\mathrm{P}$から直線$l$に下ろした垂線の足とは，$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線と$l$との交点のことである．

(1)　$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$とするとき，直線$\mathrm{AB}$上の点$z$は

$z+\alpha \beta \bar{z}=\alpha +\beta$

を満たすことを示せ．

(2)　$A(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }({\gamma }^{\prime })$とするとき，

$2{\gamma }^{\prime }=\alpha +\beta +w-\alpha \beta \bar{w}$

を示せ．

(3)　${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$が一直線上にあるとき，$\mathrm{P}$は単位円上にあることを示せ．

【４】　$n$を自然数とする．$n$色の異なる色を用意し，そのうちの何色かを使って正多面体の面を塗り分ける方法を考える．つまり，一つの面には一色を塗り，辺をはさんで隣り合う面どうしは異なる色となるように塗る．ただし，正多面体を回転させて一致する塗り分け方どうしは区別しない．

(1)　正四面体の面を用意した色で塗り分ける．

$\text{①}$　少なくとも何色必要か．

$\text{②}$　$n\geqq 4$とする．この方法は何通りあるか．

(2)　正六面体（立方体）の面を用意した色で塗り分ける．

$\text{①}$　少なくとも何色必要か．

$\text{②}$　$n\geqq 6$とする．この方法は何通りあるか．