2021　京都大学　前期

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$10$進法で表された数$6.75$を$2$進法で表せ．また，この数と$2$進法で表された数$101.0101$との積として与えられる数を$2$進法および$4$進法で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　$\mathrm{▵OAB}$において$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}$とする．$\mathrm{▵OAB}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【２】　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号が付いた$n$個の箱があり，それぞれの箱には赤玉と白玉が$1$個ずつ入っている．このとき操作(＊)を$k=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して，$k$が小さい方から順に$1$回ずつ行う．

(＊)　番号$k$の箱から玉を$1$個取り出し，番号$k+1$の箱に入れてよくかきまぜる．

　一連の操作がすべて終了した後，番号$n$の箱から玉を$1$個取り出し，番号$1$の箱に入れる．このとき番号$1$の箱に赤玉と白玉が$1$個ずつ入っている確率を求めよ．

【４】　空間の$8$点

$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,0)\text{，}$

$\mathrm{D}$$(0,0,3)\text{，}$$\mathrm{E}$$(1,0,3)\text{，}$$\mathrm{F}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{G}$$(0,2,3)$

を頂点とする直方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$を考える．点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{AE}$上の点$\mathrm{P}\text{，}$および辺$\mathrm{CG}$上の点$\mathrm{Q}$の$4$点が同一平面上にあるとする．このとき，四角形$\mathrm{OPFQ}$の面積$S$を最小にするような点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．また，そのときの$S$の値を求めよ．

【５】　$p$が素数ならば$p^4+14$は素数でないことを示せ．

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$xyz$空間の$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,2)$を通る平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$$(1,1,1)$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$が平面$\alpha$に関して$\mathrm{P}$と対称であるとは，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあり，直線$\mathrm{PM}$が$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線となることである．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　赤玉，白玉，青玉，黄玉が$1$個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を$1$個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき，$n$回目の試行で初めて赤玉が取り出されて$4$種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．ただし$n$は$4$以上の整数とする．

【２】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+1)$上の点$\mathrm{P}$における接線は$x$軸と交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$L$が取りうる値の最小値を求めよ．

【３】　無限級数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{6}}$の和を求めよ．

【４】　曲線$y=\log (1+\cos x)$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分の長さを求めよ．

【５】　$xy$平面において，$2$点$\mathrm{B}$$(-\sqrt{3},-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(\sqrt{3},-1)$に対し，点$\mathrm{A}$は次の条件(＊)を満たすとする．

(＊)　$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$かつ点$\mathrm{A}$の$y$座標は正．

　次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の外心の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$が条件(＊)を満たしながら動くとき，$\mathrm{▵ABC}$の垂心の軌跡を求めよ．

【６】　次の各問に答えよ．

問１　$n$を$2$以上の整数とする．$3^n-2^n$が素数ならば$n$も素数であることを示せ．

【６】　次の各問に答えよ．

問２　$a$を$1$より大きい定数とする．微分可能な関数$f(x)$が$f(a)=af(1)$を満たすとき，曲線$y=f(x)$の接線で原点$(0,0)$を通るものが存在することを示せ．