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2021 京都大学 特色入試総合人間学部

理系

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 平面上の曲線 γ に対する次の条件(*)を考える.

(*) 任意の三角形 ▵PQR に対し, γ 上に適当な 3 A B C をとると ▵PQR ▵ABC となる.

このとき以下の問に答えよ.

問1 円周は(*)を満たすことを示せ.

問2 曲線 y= 1x x> 0 は(*)を満たさないことを示せ.

問3 問2の曲線は次の条件 (*) を満たすことを示せ.

(*)  任意の鈍角三角形 ▵PQR に対し, γ 上に適当な 3 A B C をとると ▵PQR ▵ABC となる.

2021 京都大学 特色入試総合人間学部

理系

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  a を正の実数とし,直線 la y=ax と曲線 Cy =ex を考える.このとき以下の問に答えよ.

問1 次の不等式を示せ(ただし n は自然数).

ex1+ k= 1n xkk! x 0

問2  la C がちょうど 2 点で交わるような a の範囲を求めよ.

問3  a が問2の範囲にあるとき, 2 つの交点の x 座標をそれぞれ x1 (a ) x2( a) とする(ただし x1 (a) <x2 (a) ).また la C で囲まれる図形の面積を S( a) とする.さらに C 2 直線 x=x 1(a ) x=x2 (a ) それに x 軸とで囲まれる図形の面積を T( a) とする.このとき

lima 1log a S( a)T (a)

を求めよ.

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