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2021-10541-0201
2021 京都大学 特色入試総合人間学部
理系
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 平面上の曲線 γ に対する次の条件(*)を考える.
(*) 任意の三角形 ▵PQR に対し, γ 上に適当な 3 点 A , B, C をとると ▵PQR∽ ▵ABC となる.
このとき以下の問に答えよ.
問1 円周は(*)を満たすことを示せ.
問2 曲線 y= 1x (x> 0) は(*)を満たさないことを示せ.
問3 問2の曲線は次の条件 (*)′ を満たすことを示せ.
(*)′ 任意の鈍角三角形 ▵PQR に対し, γ 上に適当な 3 点 A , B , C をとると ▵PQR∽ ▵ABC となる.
2021-10541-0202
【2】 a を正の実数とし,直線 la :y=a⁢x と曲線 C:y =ex を考える.このとき以下の問に答えよ.
問1 次の不等式を示せ(ただし n は自然数).
ex≧1+ ∑k= 1n xkk! (x≧ 0)
問2 la と C がちょうど 2 点で交わるような a の範囲を求めよ.
問3 a が問2の範囲にあるとき, 2 つの交点の x 座標をそれぞれ x1 ⁡(a ), x2⁡( a) とする(ただし x1 ⁡(a) <x2⁡ (a) ).また la と C で囲まれる図形の面積を S⁡( a) とする.さらに C と 2 直線 x=x 1⁡(a ), x=x2⁡ (a ), それに x 軸とで囲まれる図形の面積を T⁡( a) とする.このとき
lima→∞ 1log⁡ a⋅ S⁡( a)T⁡ (a)
を求めよ.