2021　京都教育大学　前期MathJax

【１】　$n$は自然数であるとする．

(1)　$n$が偶数であることは，$n(n+1)(n+2)$が$24$の倍数であるための十分条件であることを証明せよ．

(2)　$n$が偶数であることは，$n(n+1)(n+2)$が$24$の倍数であるための必要条件ではないことを証明せよ．

【２】(1)　$\mathrm{ABC}$は三角形であるとする．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S\text{，}$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくと，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2}$

であることを証明せよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}$$(1,2,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,4,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,3,2)$を頂点とする三角形の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{ABCABCUNIV}$の$10$文字を$1$列に並べるとき，次のような並べ方は何通りあるかそれぞれ求めよ．

(1)　$\mathrm{N}$は$\mathrm{U}$の右隣にある．

(2)　$\mathrm{N}$は$\mathrm{U}$より右にあり，$\mathrm{I}$は$\mathrm{N}$より右にあり，$\mathrm{V}$は$\mathrm{I}$より右にある．

【４】　次の手順で図形を描く．

1．長さ$1$の線分を描く（$K_0$）．

2．線分を三等分する．

3．中央の線分を一辺とする正三角形を描く．

4．正三角形の底の線分を消す．

ここまでの手続きで長さが${\displaystyle \frac{1}{3}}$の線分$4$本からなる図形が得られた．これを$K_1$とする（上図参照）．$K_1$を構成する$4$本の線分に対し，上図のようにそれぞれ手順2〜4を繰り返して得られる図形を$K_2$とする．さらに，$K_2$を構成する線分すべてに対し，上図のようにそれぞれ手順2〜4を繰り返して得られる図形を$K_3$とする．以下同様に，図形を構成する線分すべてに対し，それぞれ手順2〜4を繰り返して得られる図形を$K_4\text{．}$$K_5\text{，}\cdots$とする．

各$n\geqq 0$に対し，$K_n$を$6$個，新たに描いた正三角形が内側になるように，図のように組み合わせて作った図形を$S_n$とし，$S_n$の面積を$s_n$とする．

(1)　$s_0\text{，}$$s_1\text{，}$$s_2$を求めよ．

(2)　$s_n$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【５A】(1)　三角関数の加法定理を使って，$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$であることを証明せよ．

(2)　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$O_1$と，点$(3,0)$を中心とする半径$1$の円$O_2$が接している．今，円$O_2$は，反時計回りに回転しながら，固定された円$O_1$に接しながら，すべることなく円$O_1$の周りを一周する．最初点$(2,0)$にあった，円$O_2$上の点を$\mathrm{P}$とする．

(a)　$\mathrm{P}$の$x$座標の値の範囲を求めよ．

(b)　$\mathrm{P}$は何回直線$x=-2$上に乗るかを求めよ．

【５B】(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，

$\tan x>x$

であることを証明せよ．

(2)

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とおく．$0<x_1<x_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ならば，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．

(3)　$n\geqq 3$とする．半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さ（$1$辺の長さの$n$倍）を$a_n$とする．

$a_n<a_{n+1}$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

であることを証明せよ．