2021　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】(1)　$t$の関数

$f(t)={\displaystyle \frac{\log t}{t}}$$\text{（}t>0\text{）}$

を考える．関数$f(t)$の最大値を求めよ．

【１】(2)　$a$を正の実数とする．$x$の関数

$g(x)=e^{ax}+2e^{-ax}+(2-a^2)x$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

を考える．関数$g(x)$の最小値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$4:3$に外分する点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$の中点であり，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{EC}$上にあり，点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{DF}$上にある．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，線分の長さの比$\mathrm{EQ}:\mathrm{QC}$および$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq 2\pi \\ 0\leqq y\leqq |ax+\sin x|\end{array}$

の表す$xy$平面内の領域を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くときの$V$の最小値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$m$を自然数とする．

(ⅰ)　$m$が偶数のとき，$m^{m-1}+1$を$8$で割った余りを求めよ．

(ⅱ)　$m$が奇数のとき，$m^{m-1}+1$を$8$で割った余りを求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$\theta$を実数とし，$n$を整数とする．$z=\sin \theta +i\cos \theta$とおくとき，複素数$z^n$の実部と虚部を$\cos (n\theta )$と$\sin (n\theta )$を用いて表せ．ただし，$i$は虚数単位である．