2021　大阪大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．$C$を放物線$y=x^2$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$$(a,-1)$を通るような$C$の接線は，ちょうど$2$本存在することを示せ．

(2)　点$\mathrm{A}$$(a,-1)$から$C$に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=2ax+1$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{A}$$(a,-1)$と直線$y=2ax+1$の距離を$L$とする．$a$が実数全体を動くとき，$L$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　空間内に，同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$s\text{，}$$t$を$0<s<1\text{，}$$0<t<1$をみたす実数とする．線分$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を${\mathrm{A}}_0\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{B}}_0\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに$4$点${\mathrm{A}}_0\text{，}$${\mathrm{B}}_0\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一平面上にあるとする．

(1)　$t$を$s$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=120\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle COA}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle POQ}=90\mathrm{°}$であるとき，$s$の値を求めよ．

【３】　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に関する次の条件(＊)を考える．

${\displaystyle {\int }_a^c}(x^2+bx)\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_b^c}(x^2+ax)\mathit{dx}$$\cdots$(＊)

(1)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が(＊)および$a\ne b$をみたすとき，$c^2$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$c=3$のとき，(＊)および$a<b$をみたす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(3)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が(＊)および$a\ne b$をみたすとき，$c$は$3$の倍数であることを示せ．

【１】　$a\text{，}$$b$を$ab<1$をみたす正の実数とする．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$から，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{Q}$$(s,{\displaystyle \frac{1}{s}})\text{，}$$\mathrm{R}$$(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$とする．ただし，$s<t$とする．

(1)　$s$および$t$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(a,b)$が曲線$y={\displaystyle \frac{9}{4}}-3x^2$上の$x>0\text{，}$$y>0$をみたす部分を動くとき，${\displaystyle \frac{t}{s}}$の最小値とそのときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，$t$を$t\geqq 1$をみたす実数とする．

(1)　$x\geqq t$のとき，不等式

$-{\displaystyle \frac{{(x-t)}^2}{2}}\leqq \log x-\log t-{\displaystyle \frac{1}{t}}(x-t)\leqq 0$

が成り立つことを示せ．

(2)　不等式

$-{\displaystyle \frac{1}{6n^3}}\leqq {\displaystyle {\int }_t^{t+\frac{1}{n}}}\log x\mathit{dx}-{\displaystyle \frac{1}{n}}\log t-{\displaystyle \frac{1}{2t{n}^2}}\leqq 0$

が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\log (1+{\displaystyle \frac{k}{n}})$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-pn)=q$をみたすような実数$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

【４】　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に関する次の条件(＊)を考える．

${\displaystyle {\int }_a^c}(x^2+bx)\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_b^c}(x^2+ax)\mathit{dx}$$\cdots$(＊)

(1)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が(＊)および$a\ne b$をみたすとき，$c^2$は$3$の倍数であることを示せ．

(2)　$c=3600$のとき，(＊)および$a<b$をみたす整数の組$(a,b)$の個数を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を実数とする．$x$についての方程式$x-\tan x=a$の実数解のうち，$\left|x\right|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたすものがちょうど$1$個あることを示せ．

(2)　自然数$n$に対し，$x-\tan x=n\pi$かつ$\left|x\right|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数$x$を$x_n$とおく．$t$を$\left|t\right|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数とする．このとき，曲線$C\text{：}y=\sin x$上の点$\mathrm{P}$$(t,\sin t)$における接線が，不等式$x\geqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の表す領域に含まれる点においても曲線$C$と接するための必要十分条件は，$t$が$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$\cdots$のいずれかと等しいことであることを示せ．