2021　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上で$\mathrm{0}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1)$とする．$r>{\displaystyle \frac{1}{3}}$とし，点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{1}{3}},r)$に対して，直線$\mathrm{OP}\text{，}$直線$\mathrm{PA}$は，それぞれ点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$における$3$次関数$y=f(x)$のグラフの接線であるとする．次の問に答えよ．

(1)　$2$直線$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{PA}$の方程式を$r$を用いて表せ．

(2)　$f^{\prime }(0)\text{，}$$f^{\prime }(1)$を$r$を用いて表せ．

(3)　$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$とするとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$r$を用いて表せ．

(4)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，$y=f(x)$のグラフ，$2$直線$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{PA}$で囲まれる部分の面積を$r$を用いて表せ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$9073$と$2021$の最大公約数を求めよ．

(2)　$ab-3a-7b=2000$を満たす正の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(3)　$\sqrt{n^2+2021}$が整数となるような正の整数$n$をすべて求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$がある．$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるための必要十分条件は

${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta -\beta \gamma -\gamma \alpha =0$

であることを示せ．

(2)　複素数平面上に$4$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )\text{，}$$\mathrm{D}(\delta )$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための必要十分条件は

$\alpha +\gamma =\beta +\delta \text{，}$${(\delta -\alpha )}^2+{(\beta -\alpha )}^2=0$

であることを示せ．