2021　大阪教育大学　後期MathJax

【１】　$f(x)=\log \cos x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}=\cos x$を示せ．

(2)　$\sqrt{1+{\{f^{\prime }(x)\}}^2}$を$t$を用いて表せ．

(3)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}}\sqrt{1+{\{f^{\prime }(x)\}}^2}\mathit{dx}$

【２】　$r$は$0<r<1$をみたす実数とする．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{1+r}}\text{，}$$a_{n+1}=r(1-a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　次の無限級数の収束，発散を調べよ，収束する場合はその和を求めよ．

(ⅰ)　$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{a_1}{2}}+{\displaystyle \frac{a_2}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}+\cdots$

【３】　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$内心を$\mathrm{I}\text{，}$重心を$\mathrm{G}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とする．ただし，三角形の$3$頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は，$1$点で交わる．その交点を三角形の垂心という，$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がすべて異なるとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{OH}$の交点は重心$\mathrm{G}$であることを示せ．また，$\mathrm{OG}:\mathrm{GH}$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(4)　次の式が成り立つことを示せ．

$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}}$