2021　神戸大学　前期MathJax

(1)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$のとき${(3+i)}^n$を求めよ．またそれらの虚部の整数を$10$で割った余りを求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき${(3+i)}^n$は虚数であることを示せ．

$x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)\geqq 0$

が成り立つことを示せ．また等号が成り立つのはどんな場合か．

(1)　$k=2$

(2)　$k=-1$

(3)　$-1<k<2$

(1)　$2{\mathrm{AH}}^2-3{\mathrm{BH}}^2+{\mathrm{CH}}^2=6{\mathrm{AB}}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から$\mathrm{P}$を見上げた角度$\mathrm{\angle PAH}\text{，}$$\mathrm{\angle PBH}\text{，}$$\mathrm{\angle PCH}$はそれぞれ$45\mathrm{°}\text{，}$$60\mathrm{°}\text{，}$$30\mathrm{°}$であった．$\mathrm{AB}=100\mathrm{m}$のとき，塔の高さ$\mathrm{PH}(\mathrm{m})$の整数部分を求めよ．

(3)　(2)において，$\mathrm{H}$と道との距離$(\mathrm{m})$の整数部分を求めよ．

(1)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$のとき${(2+i)}^n$を求めよ．またそれらの虚部の整数を$10$で割った余りを求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき${(2+i)}^n$は虚数であることを示せ．

(1)　$I={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$

(2)　$J={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^3\log (x^2+1)\mathit{dx}$

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=x\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=y$とするとき，${\sin }^2\theta$を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　$\theta$の最大値を求めよ．

(1)　$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{O}$を通る円の方程式を求めよ．

(3)　放物線$y=x^2$と(2)の円が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{O}$以外の共有点をもたないような$m$の値をすべて求めよ．

$x={\displaystyle \frac{4+5\cos t}{5+4\cos t}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{3\sin t}{5+4\cos t}}$

であるとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$との距離を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$と速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{5+4\cos t}}$を求めよ．