2021　神戸大学　後期MathJax

(1)　$f(x)=x^5-5x^3+4x$とする．$f(x)$を因数分解せよ，また$f(x)$は条件$P$をみたすことを示せ．

(2)　$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$（$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は整数）とする．整式$g_1(x)\text{，}$$g_2(x)\text{，}$$g_3(x)\text{，}$$g_4(x)$を

$g_1(x)=f(x+1)-f(x)\text{，}$

$g_{i+1}(x)=g_i(x+1)-g_i(x)$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

により定める．$g_1(x)\text{，}$$g_2(x)\text{，}$$g_3(x)\text{，}$$g_4(x)$を求めよ．

(3)　整数を係数とする$4$次式$f(x)$で$x^4$の係数が$1$であるものは条件$P$をみたさないことを示せ．

(1)　$n=a+b\text{，}$$s=ab$とする．$1-p_2\text{，}$$1-p_3$を$n\text{，}$$s$を用いて表せ．

(2)　$p_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(ⅰ)　$p_3$を求めよ．

(ⅱ)　$p_4$と${\displaystyle \frac{1}{8}}$の大小を比較せよ．

(1)　空間内に点$\mathrm{O}$と，$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$がある．$\alpha$上にある点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$と実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$が

$x_1\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+x_2\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}+\cdots +x_n\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}=\overrightarrow{0}$

をみたすとき，$x_1+x_2+\cdots +x_n=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$\mathrm{O}$を頂点とし，正六角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_6$を底面とする六角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$がある．$0<t_i<1$をみたす実数$t_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$6\text{）}$に対して，辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_i$を$t_i:(1-t_i)$に内分する点を${\mathrm{P}}_i$とする．このとき点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_6$が同一平面上にあるならば，次の等式が成り立つことを示せ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{1}{t_1}}+{\displaystyle \frac{1}{t_3}}+{\displaystyle \frac{1}{t_5}}={\displaystyle \frac{1}{t_2}}+{\displaystyle \frac{1}{t_4}}+{\displaystyle \frac{1}{t_6}}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{t_1}}+{\displaystyle \frac{1}{t_4}}={\displaystyle \frac{1}{t_2}}+{\displaystyle \frac{1}{t_5}}={\displaystyle \frac{1}{t_3}}+{\displaystyle \frac{1}{t_6}}$

(1)　この$2$次方程式が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$を(1)で求めた範囲で動かすとき，この$2$次方程式の実数解がとりうる値の範囲を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{t^2-t+1}}+{\displaystyle {\int }_x^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{t^2+t+1}}$

の最小値を求めよ．