2021　奈良教育大学　前期MathJax

${\displaystyle \frac{\sin A}{5}}={\displaystyle \frac{\sin B}{3}}={\displaystyle \frac{\sin C}{7}}$

$l\text{：}y=mx+n$

$l^{\prime }\text{：}y=m^{\prime }x+n^{\prime }$

について考える．ただし，$m\text{，}$$m^{\prime }\text{，}$$n\text{，}$$n^{\prime }$は定数とする．

(1)　$2$直線$l\text{，}$$l^{\prime }$が垂直ならば，$m{m}^{\prime }=-1$となることを示せ．

(2)　$m{m}^{\prime }=-1$ならば，$2$直線$l\text{，}$$l^{\prime }$は垂直となることを示せ．

(3)　$m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$n={\displaystyle \frac{9}{2}}$とする．直線$l$に関して，点$\mathrm{P}$$(1,-1)$と対称な点の座標を求めよ．

・大きなコインが表で小さなコインが表になったとき，駒を$(x,y)$から$(x+1,y)$に動かす．

・大きなコインが表で小さなコインが裏になったとき，駒を$(x,y)$から$(x,y+1)$に動かす．

・大きなコインが裏で小さなコインが裏になったとき，駒を$(x,y)$から$(x-1,y)$に動かす．

・大きなコインが裏で小さなコインが表になったとき，駒を$(x,y)$から$(x,y-1)$に動かす．

いま，駒が原点$(0,0)$においてあり，この試行を$n$回繰り返したときに，駒が原点に戻る確率を$P_n$とし，$n$回繰り返したときに，駒が初めて原点に戻る確率を$Q_n$とする．

(1)　$Q_4$を$P_2$と$P_4$を用いて表せ．

(2)　$Q_6$を$P_2$と$P_4$と$P_6$を用いて表せ．

(3)　$Q_6$の値を求めよ．

$f(x)=2021-e^{-x}-{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$

ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を$f(x)$と$e^{-x}$を用いて表せ．

(2)　$g(x)=e^{x}f(x)$とおくとき，関数$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$0$でない定数$a$に対して，関数$h(x)$が$h^{\prime }(x)=a$を満たすとき，$h(x)$は$x$の係数が$a$である$1$次関数であることを示せ．

(4)　$f(x)$を求めよ．