2021　和歌山大学　後期工学部MathJax

2021-10641-0301

2021　和歌山大学　後期工学部

総合問題

易□　並□　難□

【１】　座標平面上に原点 $O$ $(0, 0)$ と点 $P_{0}$ $(0, 1)$ がある． $i = 1 ，$ $2 ，$ $\dots ，$ $n$ に対して， $∠ P_{i - 1} O P_{i}$ が $θ$ $（ 0 < θ < π ），$ $∠ O P_{i - 1} P_{i}$ が $φ$ $（ 0 < φ < π - θ ）$ であるような点を $P_{i}$ とする．ただし， $P_{i}$ は点 $O$ を中心として半直線 $O P_{i - 1}$ を時計回りに $θ$ だけ回転した半直線上にある．また， $▵ P_{i - 1} O P_{i}$ を $T_{i}$ とする．以下の設問(1)から(6)に答えなさい．

(1)　 $P_{2}$ が $y$ 軸上にあるとき， $θ$ の値を求めなさい．

(2)　 $θ = \frac{π}{6}$ であり，線分 $O P_{0}$ より線分 $O P_{1}$ の方が長いとき， $φ$ が取り得る値の範囲を求めなさい．

(3)　 $θ = \frac{π}{6}$ かつ $φ = \frac{π}{3}$ のとき， $T_{4}$ の面積を求めなさい．

(4)　 $θ = \frac{π}{6}$ かつ $φ = \frac{π}{3}$ のとき， $t_{1} ，$ $T_{2} ．$ $\dots ，$ $T_{n}$ の面積の和を $n$ を用いて表しなさい．

(5)　 $θ = \frac{π}{2}$ であり， $T_{5}$ の面積が $T_{1}$ の面積の $81$ 倍であるとき， $φ$ の値を求めなさい．

(6)　 $T_{1} ，$ $T_{2} ，$ $\dots ，$ $T_{n}$ $（ n ≧ 4 ）$ によって覆われる領域の面積を $C_{n}$ とおく．(5)における $θ$ と $φ$ の値に対して， $C_{n}$ を $n$ を用いて表しなさい．