2021　鳥取大学　前期MathJax

$A=3x^2+14x-24\text{，}$$B=2x+c$

　ただし$c$は実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x$についての方程式$A=B$が虚数解をもつときの$c$の範囲を求めよ．

(2)　$x$の整式$P(x)=18x^4+168x^3+116x^2-1288x+1050$を$A$を用いて表せ．

(3)　(2)の$P(x)$について，方程式$P(x)=0$を解け．

(1)　点$\mathrm{P}$$(s,t)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線の$y$切片の値を$k$とする．$2r<k<3r$のとき，$s$の範囲を求めよ．

(1)　${20}^{21}$の桁数を求めよ．

(2)　${20}^{21}$の最高位の数字を求めよ．

(3)　$5^n>{20}^{21}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

$a_n=b_1{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+b_2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+\cdots +b_{D(n)}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{D(n)}$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．例えば，

$n=0$のとき$2$進法では$0$のため

$a_0=0$

$n=1$のとき$2$進法では$1$のため

$a_1=1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$n=2$のとき$2$進法では$10$のため

$a_2=0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$n=3$のとき，$2$進法では$11$のため

$a_3=1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$n=4$のとき，$2$進法では$100$のため

$a_4=0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$

となる．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_6\text{，}$$a_7\text{，}$$a_8\text{，}$$a_9$をそれぞれ求めよ．

(2)　$2^k\leqq n<2^{k+1}$（ただし$k$は自然数）のとき，$a_n$を$a_{n-2^k}$を用いて表せ．

(3)　$a_0$から$a_{130}$までの数列の和$S_{130}={\displaystyle \sum _{i=0}^{130}}{a}_i$を求めよ．

(1)　$S$を$\omega \text{，}$$\bar{\omega }$を用いて表せ．ただし，$\bar{\omega }$は$\omega$の共役複素数である．

(2)　$S$の最大値を求めよ．また，このとき$\mathrm{▵OAB}$はどのような三角形か．

(1)　水の深さが$h$$\text{（}0<h<r\text{）}$に達したときの水の体積$V$と水面の面積$S$をそれぞれ求めよ．

(2)　水の深さが${\displaystyle \frac{r}{2}}$になったときの水面の上昇する速度$v_1$と水面の面積の増加する速度$v_2$をそれぞれ求めよ．

$f(x)=a^x$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

とし，$xy$平面上の曲線$C$を

$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$a$が$A\leqq a\leqq B$の範囲を動くとき，曲線$C$が通過する領域の面積を$A\text{，}$$B$を用いて表せ．

$a_n=b_1{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+b_2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+\cdots +b_{D(n)}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{D(n)}$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．例えば，

$n=0$のとき$2$進法では$0$のため

$a_0=0$

$n=1$のとき$2$進法では$1$のため

$a_1=1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$n=2$のとき$2$進法では$10$のため

$a_2=0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$n=3$のとき，$2$進法では$11$のため

$a_3=1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$n=4$のとき，$2$進法では$100$のため

$a_4=0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1+0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$

となる．以下の問いに答えよ．

(1)　$2^k\leqq n<2^{k+1}$（ただし$k$は自然数）のとき，$a_n$を$a_{n-2^k}$を用いて表せ．

(2)　$a_0$から$a_{130}$までの数列の和$S_{130}={\displaystyle \sum _{i=0}^{130}}{a}_i$を求めよ．

(3)　$k$を$2$以上の自然数とするとき，$a_n<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{（}0\leqq n\leqq 2^k\text{）}$となる項の数を求めよ．

$f(x)=a^x$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

とし，$xy$平面上の曲線$C$を

$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$a$が$A\leqq a\leqq A+1$の範囲を動くとき，曲線$C$が通過する領域の面積$S(A)$を$A$を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた$S(A)$に関する次の極限

$\underset{A\to \infty }{\lim }S(A)\log A$

を求めよ．ただし，

$\underset{A\to \infty }{\lim }\log {(1+{\displaystyle \frac{1}{A}})}^A=1$

であることを用いてよい．

$J_n={\displaystyle {\int }_0^p}{\displaystyle \frac{1-{(-1)}^n{x}^{2n}}{1+x^2}}\mathit{dx}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　正の実数$m$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_0^p}{\displaystyle \frac{x^m}{1+x^2}}\mathit{dx}$と${\displaystyle \frac{1}{m+1}}$の大小関係を調べよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={(-1)}^{n-1}{\displaystyle \frac{p^{2n-1}}{2n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を$J_n$を用いて表せ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{(2n-1)3^{n-1}}}$の和を求めよ．