2021　島根大学　前期MathJax

(1)　$55$と$72$は互いに素であることを示せ．

(2)　不定方程式$55x+72y=1$の整数解を$1$組求めよ．

(3)　不定方程式$55x+72y=c$の整数解をすべて求めよ．

(4)　$c>3960$のとき，不定方程式$55x+72y=c$の整数解で$x>0$かつ$y>0$をみたすものが存在することを示せ．

(1)　$\mathrm{\angle ABC}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めよ．

(2)　$a=2\cos 36\mathrm{°}$となることを示せ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$および$\cos 36\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$となることを示せ．

(4)　$\cos 18\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$となることを示せ．

$\{\begin{array}{c}{a}_1=p\\ b_1=q\end{array}\text{，}$$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=p{a}_n+q{b}_n\\ b_{n+1}=q{a}_n+p{b}_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n+b_n\}\text{，}$$\{a_n-b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　すべての自然数$m$に対して$a_{2m-1}$は$p$の倍数であることを数学的帰納法を用いて示せ．

(1)　$n=3$のとき，$\left|{\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}\right|$と$\arg \left({\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}\right)$を求めよ．ただし，

$-\pi <\arg \left({\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\gamma }}\right)\leqq \pi$

とする．

(2)　$n=3$のとき，${(\gamma -\alpha )}^2+(\gamma -\alpha )(\beta -\alpha )+{(\beta -\alpha )}^2=0$が成り立つことを示せ．

(3)　$3$以上の自然数$n$に対し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(\gamma -\alpha )}^{n-k}{(\beta -\alpha )}^{k-1}=0$が成り立つことを示せ．

(1)　$\alpha$と$\beta$を求めよ．

(2)　$\alpha \leqq x\leqq \beta$において曲線$y=f(x)$と直線$y=x$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$に関して曲線$y=f(x)$と対称な曲線の方程式を求めよ．

(1)　${(x+{\displaystyle \frac{t}{x}})}^3$を展開せよ．

(2)　$2$つの実数$a\text{，}$$b$に対して，$f(x)=x^3+ax+b$とする．$x$についての整式$x^{3}f(x+{\displaystyle \frac{t}{x}})$において$x^4$の係数，$x^3$の係数および$x^2$の係数を求めよ．

(3)　$3$次方程式$x^3+3x-1=0$は正の実数解$\alpha$をただ$1$つもつ．$\alpha$を求めよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{6}{5}}$のとき，$b_2$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$が等比数列となるような$\alpha \text{，}$$\beta$を$1$組求めよ．

(3)　(2)で求めた$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，${-10}^{-78}<b_n<{10}^{-78}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

　初めにカードは左から順に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$と並んでいるとする．操作を$n$回繰り返し行ったとき，次の確率を既約分数で答えよ．

(1)　$n=2$のとき，テーブルの上に並んでいるカードが左から順に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$である確率

(2)　$n=3$のとき，テーブルの上にカードがちょうど$3$枚残っている確率

(3)　$n=3$のとき，テーブルの上に$2\text{，}$$5$のカードはなく，$2\text{，}$$5$以外のすべてのカードが残っており，かつ左端が$1$で右端が$6$である確率