2021　島根大学　後期総合理工学部MathJax

(1)　この$2$次関数のグラフの頂点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$y>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$0$以上のすべての実数$x$に対して$y>0$となることを示せ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$を成分表示せよ．また各頂点の外角を求めよ．

(2)

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}=(\cos {\displaystyle \frac{a_1\pi }{7}},\sin {\displaystyle \frac{a_2\pi }{7}})\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3}=(\cos {\displaystyle \frac{a_3\pi }{7}},\sin {\displaystyle \frac{a_4\pi }{7}})\text{，}$

$0\leqq a_i<14$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$

とするとき，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{6\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{8\pi }{7}}$$+\cos {\displaystyle \frac{10\pi }{7}}$$+\cos {\displaystyle \frac{12\pi }{7}}$を求めよ．

(4)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{7}}$$+\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{7}}$$+\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{7}}$$+\cos {\displaystyle \frac{13\pi }{7}}$を求めよ．

$(2n-2)r+1\leqq k\leqq 2nr$

をみたす整数$k$全体の集合を$B^n(r)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$r=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$のそれぞれに対して$B^3(r)$を要素を具体的に書き並べる方法で表せ．

(2)　$B^n(r)\cap B_n(r+1)=\varnothing$となる最大の$r$を求めよ．

(3)　$B^n(1)\text{，}$$B^n(2)\text{，}$$B^n(3)\text{，}$$\cdots$のいずれにも属さない正の整数の個数を$a_n$とする．$a_n$を求めよ．

(1)　すべての自然数$n$に対し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}2k=n(n+a)$であるような定数$a$を求めよ．

(2)　無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2+4+\cdots +2n}}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2+4}}+{\displaystyle \frac{1}{2+4+6}}+\cdots$

の和を求めよ．

(3)　無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{3+5+\cdots +(2n+1)}}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3+5}}+{\displaystyle \frac{1}{3+5+7}}+\cdots$

の和を求めよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．