2021　広島大学　後期数学科MathJax

【１】　$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$B_a$と曲線$C$を次のように定める．

$B_a\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{a}}{x}^2+2\text{，}$$C\text{：}{x}^2+y^2=1$

以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が曲線$B_a$上を動くとき，$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$$(0,0)$との距離の最小値を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$B_a$と曲線$C$が共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$B_a$上を動き，点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$との距離の最小値を$a$を用いて表せ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とし，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$を満たす実数とする．$n$個のデータ$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の平均値を$m\text{，}$標準偏差を$s\text{，}$中央値を$M$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数

$f(x)={(x-a_1)}^2+{(x-a_2)}^2+\cdots +{(x-a_n)}^2$

の最小値，およびそのときの$x$の値を$n\text{，}$$m\text{，}$$s\text{，}$$M$のうち必要なものを用いて表せ．

(2)　$n$は偶数であるとする．このとき，関数

$g(x)=|x-a_1|+|x-a_2|$$+\cdots +|x-a_n|$

は$x=M$で最小となることを示せ．

(3)　$n$は偶数であるとする．このとき，(2)の関数$g(x)$が最小値をとる$x$がただ一つであるための必要十分条件を，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$のうち必要なものを用いて述べよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$を互いに素な自然数とし，自然数$n$に対し

${\displaystyle \frac{1}{n+1}}<{\displaystyle \frac{b}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}$

が成り立つとする．互いに素な自然数$c\text{，}$$d$により

${\displaystyle \frac{b}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{d}{c}}$

と表すとき，$d<b$となることを示せ．

(2)　$S$を$0$より大きく$1$より小さい有理数とする．このとき，$S$は異なる自然数$n_1\text{，}$$n_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n_l$の逆数の和として

$S={\displaystyle \frac{1}{n_1}}+{\displaystyle \frac{1}{n_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n_l}}$$\text{（}1<n_1<n_2<\cdots <n_l\text{）}$

と表すことができることを示せ．

【４】　面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$がある．$s\text{，}$$t$を$s>0\text{，}$$t>0\text{，}$$s+t<1$を満たす実数とする．三角形$\mathrm{ABC}$の内部に，$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす点$\mathrm{X}$をとる．直線$\mathrm{AX}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{BX}$と辺$\mathrm{CA}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{CX}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{BPX}\text{，}$三角形$\mathrm{CQX}\text{，}$三角形$\mathrm{ARX}$の面積の和を$W$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}}$の値を$s$と$t$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{BPX}\text{，}$三角形$\mathrm{CQX}\text{，}$三角形$\mathrm{ARX}$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　$s=t$のとき，$W$を求めよ．

(4)　点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{CA}$の中点であるとき，$W$を求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．赤い袋には$1$から$n$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ合計$n$枚，青い袋には$1$から$3n$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ合計$3n$枚入っている．まず，赤い袋からカードを$1$枚ずつ$n$回引き，カードに書かれた数字を引いた順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$とする．次に，青い袋からカードを$1$枚ずつ$n$回引き，カードに書かれた数字を引いた順に$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$b_n$とする．ただし，引いたカードを袋の中には戻さない．このとき，「すべての$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して$a_k<b_k$」となる確率を$P_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$P_2$を求めよ．

(2)　$P_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\log {(P_n)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{(P_n)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．