2021　広島大学　後期理学部物理学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１

(1)　$6$人の人が$2$人ずつ$3$組のペアを作りダンスをする．異なるペアの作り方はいくつあるか．

【１】　以下の問いに答えよ．

問１

(2)　次の式を満たす実数$x\text{，}$$y$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

${(x+iy)}^2=3+4i$

【１】　以下の問いに答えよ．

問１

(3)　$x$軸，$y$軸，$z$軸と交差する点が，$(1,0,0)\text{，}$$(0,2,0)\text{，}$$(0,0,3)$である平面を表す方程式を求めよ．また，この平面と直交する直線のうち，原点を通る直線がこの平面と交わる点を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問２　図１のように半径$1$の$2$つの円があり，一方の円の中心を原点$\mathrm{O}$に固定し，もう一方の円の中心を点$\mathrm{A}$$(x,0)$に置き，$0<x<2$とする．$2$つの円の交点を$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$のなす角度を$\theta$ラジアンとする．

(1)　$x$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$2$つの円の重なる部分（図の斜線部）の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathit{dS}}{\mathit{dx}}}$を$x$を用いて表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問３　関数$f(x)=(x-1)e^{-x}$について以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　$a$が$1$より大きい有限な正の実数のとき，不等式${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}>{\displaystyle {\int }_1^a}f(x)\mathit{dx}$が成り立つことを示せ．