2021　広島大学　AO入試教育学部数理系MathJax

【１】　円$C$の半径を$r\text{，}$面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，円周率は$\pi$とする．

(1)　小学校算数科で学習する方法で，円$C$の面積$S$を求める公式を説明せよ．

(2)　積分を用いて，円$C$の面積$S$を求めよ．

【２】　平面上のベクトルについて，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\text{，}$実数$\theta$に対して，$b_1=a_1\cos \theta +a_2\sin \theta \text{，}$$b_2=-a_1\sin \theta +a_2\cos \theta$であれば$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{0}$でない二つのベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$について，次のことが成り立つことを示せ．

$\overrightarrow{a}⫽\overrightarrow{b}⟺a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　整式$x^3-3$を$x^2+x+1$で割った商と余りを求め，

$(x^3-3)f(x)+(x^2+x+1)g(x)=1$

となる整式$f(x)\text{，}$$g(x)$を求めよ．

(2)　(1)の結果を利用して

${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}}=a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9}$

となる有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

【４】　ある病原菌の検査試薬は，病原菌に感染しているのに誤って陰性と判断する確率が$2\mathrm{\%}\text{，}$感染していないのに誤って陽性と判断する確率が$1\mathrm{\%}$であるとする．全体の$5\mathrm{\%}$がこの病原菌に感染している集団から一つの個体を取り出すとき，次の確率を求めよ．

　ただし，取り出した個体が感染しているという事象を$A\text{，}$感染していないという事象を$\bar{A}$とする．また，検査結果が陽性であるという事象を$E\text{，}$陰性であるという事象を$\bar{E}$とする．

(1)　検査結果が陽性だったときに，実際には感染していない確率

(2)　検査結果が陰性だったときに，実際には感染している確率

【５】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$と，長さ$a\text{，}$$b$の線分が与えられたとき，次の作図についての問いに答えよ．ただし，作図とは定規とコンパスだけを用いて，与えられた条件を満たす図形をかくことをいう．

　定規は，与えられた$2$点を通る直線を引く道具である．コンパスは，与えられた$1$点を中心にして，与えられた半径の円をかく道具である．直線や円の交点は，与えられた点として作図に用いることができる．

(1)　長さ${\displaystyle \frac{b}{a}}$の線分を作図する手順を箇条書きで示せ．また，その手順に従った作図をすれば，長さ${\displaystyle \frac{b}{a}}$の線分が作図されることを証明せよ．

(2)　長さ$ab$の線分を作図する手順を箇条書きで示せ．また，その手順に従った作図をすれば，長さ$ab$の線分が作図されることを証明せよ．

(3)　長さ$\sqrt{a}$の線分を作図する手順を箇条書きで示せ．また，その手順に従った作図をすれば，長さ$\sqrt{a}$の線分が作図されることを証明せよ．

【６】　次のデータは$\mathrm{A}$市と$\mathrm{B}$市のある年の月ごとの雨の日数を並べたものである．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$市のデータの平均値$\overline{x_{\mathrm{A}}}$と$\mathrm{B}$市のデータの平均値$\overline{x_{\mathrm{B}}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$市のデータの中央値と四分位範囲を求めよ．$\mathrm{B}$市のデータの中央値と四分位範囲を求めよ．また，四分位範囲によって，データの散らばりの度合いを比較せよ．

(3)　$\mathrm{A}$市のデータの標準偏差$s_{\mathrm{A}}$と$\mathrm{B}$市のデータの標準偏差$s_{\mathrm{B}}$を求めよ．また，標準偏差によって，それぞれの平均値からの散らばりの度合いを比較せよ．

【７】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=x^3-3$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x^3-3$の増減とグラフの凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．

(2)　$\sqrt[3]{3}<2$であることを示せ．

(3)　曲線$C$の$x=2$における接線$L_1$を求め，$L_1$と$x$軸との交点を求めよ．

(4)　以下，(3)で求めた交点の$x$座標を$a$とおく．$\sqrt[3]{3}<a$であることを曲線$C$を用いて説明せよ．

(5)　曲線$C$の$x=a$における接線$L_2$を求め，$L_2$と$x$軸との交点を求めよ．

(6)　(5)で求めた交点の$x$座標を$b$とおく．$\sqrt[3]{3}<b<a$であることを曲線$C$を用いて説明せよ．