2021　山口大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$を満たすとする．このとき．次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{C}$を，$\mathrm{BC}=1$を満たすようにとる．このとき．線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．

(3)　$\mathrm{▵OAB}\text{．}$$\mathrm{▵OBC}$の内接円の半径をそれぞれ求めなさい．

【２】　$m\text{，}$$n$を正の実数とする．座標平面上において．$y=|x^2-x|$を$C$とし，直線$y=mx+n$を$l$とする．$0<x<1$の範囲で，直線$l$は曲線$C$と点$\mathrm{P}$で接しているとする．このとき．次の問いに答えなさい，

(1)　直線$l$の傾き$m$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$n$を用いて表しなさい．

(3)　$x<0$の範囲における直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x>1$の範囲における直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{QP}:\mathrm{PR}=1:3$であるとき，$m$の値を求めなさい．

【３】　図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$を考える．この立方体の$8$個の頂点から異なる$3$点を無作為に選んで，これらを頂点とする三角形を$T$とするとき，次の問いに答えなさい，

(1)　$T$が正三角形であるような選び方は何通りあるか求めなさい．

(2)　$T$が直角三角形であるような選び方は何通りあるか求めなさい．

(3)　$T$の$3$辺の長さの和が$4$以上になる確率を求めなさい．

【４】　四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{▵BCD}$は$1$辺の長さが$2$の正三角形であり，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=3$とする．また，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{AE}=m$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{EC}\text{，}$$\mathrm{ED}$の長さを$m$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで動かしたときの$\mathrm{▵ECD}$の面積の最小値と，そのときの$m$の値を求めなさい．

(4)　$m$の値を(3)で求めた値とするとき，四面体$\mathrm{EBCD}$の体積を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$10$以上$100$以下の自然数のうち，$3$で割り切れるものの和を求めなさい．

(2)　$10$以上$3n$以下の自然数のうち，$3$で割り切れるものの和が$3657$であるとする．このとき．$n$の値を求めなさい．ただし．$n$は自然数とする．

(3)　$10$以上$300$以下の自然数のうち，$15$との最大公約数が$3$であるものの和を求めなさい．

【２】　$a\text{，}$$m\text{，}$$n$を正の実数とする．座標平面上において．$y=|x^2-ax|$を$C$とし，直線$y=mx+n$を$l$とする．$0<x<a$の範囲で，直線$l$は曲線$C$と点$\mathrm{P}$で接しているとする．このとき．次の問いに答えなさい，

(1)　直線$l$の傾き$m$を$a$と$n$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$n$を用いて表しなさい．

(3)　$x<0$の範囲における直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x>a$の範囲における直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{QP}:\mathrm{PR}=1:3$であるとき，$m$を$a$を用いて表しなさい．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1)$がある．また．実数$t$に対して，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$$(t,t)$を，直線$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$$(t-1,1-t)$をとるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$t$を用いて表しなさい．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形$D$を図示しなさい．

(3)　(2)で求めた$D$を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

【４】　$a\text{，}$$\theta$を$a>0\text{，}$$0<\theta <2\pi$を満たす定数とする．このとき，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{{(x-a\cos \theta )}^2+a^2{\sin }^2\theta }}{x^2-a^2}}$$\text{（}x>a\text{）}$

について，次の問いに答えなさい，

(1)　$2$つの極限$\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)$と$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を調べなさい．

(2)　$x>a$において，$f^{\prime }(x)<0$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$x>a$において方程式$f(x)=1$の実数解を調べなさい．

【５】　$e$を自然対数の底とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，座標平面において，曲線$y=e^x$上に$3$点$\mathrm{P}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,e^t)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,e)$をとる．点$\mathrm{Q}$における$y=e^x$の接線と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．また，$y=e^x$と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_0$とする．このとき，次の問いに答えなさい，

(1)　$S(t)$を求めなさい．

(2)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めなさい．

(3)　$S_0\geqq S(t)$であることを利用して，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$e\geqq {\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，$m\text{，}$$n$は自然数とする．

(1)　$10$以上$100$以下の自然数のうち，$3$で割り切れるものの和を求めなさい．

(2)　$10$以上$3m$以下の自然数のうち，$3$で割り切れるものの和が$3657$であるとする．このとき．$m$の値を求めなさい．

(3)　$18$以上$3n$以下の自然数のうち，$15$との最大公約数が$3$であるものの和が$2538$であるとする．このとき，$n$の値を求めなさい．

【２】　箱の中に，$1$から$3$までの番号が$1$つずつ書かれた$3$枚の赤いカードと，$1$から$3$までの番号が$1$つずつ書かれた$3$枚の黒いカードが入っている．箱からカードを$1$枚ずつ無作為に取り出して．テーブルの上に，左から右へと取り出した順に並べていくとする．並べた$6$枚のカードについて，次の問いに答えなさい，

(1)　隣り合うどの$2$枚のカードも色が異なる確率を求めなさい．

(2)　番号$1$が書かれている$2$枚のカードが隣り合わない確率を求めなさい．

(3)　隣り合うどの$2$枚のカードも番号が異なる確率を求めなさい．

【３】　$a\text{，}$$\theta$を$a>0\text{，}$$0<\theta <2\pi$を満たす定数とする．このとき，方程式

${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-2x\cos \theta +1}}{x^2-1}}=a$

の区間$x>1$における実数解の個数は$1$個であることを証明しなさい．

【４】　$e$を自然対数の底とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，座標平面において，曲線$y=e^x$上に$3$点$\mathrm{P}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,e^t)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,e)$をとる．点$\mathrm{Q}$における$y=e^x$の接線と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．さらに，$y=e^x$と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_0$とする．このとき，次の問いに答えなさい，

(1)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最大値を求めなさい．

(2)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S_2(t)$の最小値を求めなさい．

(3)　$S_0\geqq S_1(t)$であることを利用して，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$e\geqq {\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$

(4)　$S_2(t)\geqq S_0$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$e\leqq {\displaystyle \frac{3+\sqrt{7}}{2}}$

必要ならば，$x>1$のとき

$(x-1)\log (x-1)$$\geqq (x-1)\log x-1+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$

が成り立つことを用いてよい．ただし，対数は自然対数とする．

【５】　$f(x)=\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{），}$$g(x)=2{\sin }^{2}x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の共有点の座標と$y=g(x)$の増減，極値を調べ，この$2$つの曲線のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい，

(2)　$I_n(x)$を$I_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\sin }^{n}t\mathit{dt}$と定めたとき，次の式が成り立つことを示しなさい，

$I_1(x)=1-\cos x$

$I_2(x)={\displaystyle \frac{x-\sin x\cos x}{2}}$

$I_n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{n}}\{{\sin }^{n-1}x\cos x-(n-1)I_{n-2}(x)\}$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の共有点の$x$座標のうち，$0$以外で最小のものを$\alpha$とする．区間$0\leqq x\leqq \alpha$において$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．