2021　山口大学　後期理学部物理情報科，化，生物学科MathJax

【１】　一般項が$a_n=n(n+1)$である数列を$\{a_n\}$とし，

$b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$$={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}$$c_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{c_k}}$を求めなさい．

【２】　$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とし空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は次を満たすとする．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=\theta$

$\cos \theta =p$と表すとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$p$を用いて表したい．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を$p$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$p$を用いて表しなさい．

(3)　次を満たす点$\mathrm{D}$を考える．

$\mathrm{OD}=1\text{，}$$\mathrm{OA}\perp \mathrm{OD}\text{，}$$\mathrm{OB}\perp \mathrm{OD}\text{，}$$0\mathrm{°}<\mathrm{\angle COD}<90\mathrm{°}$

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の形に表すとき，$s\text{，}$$t\text{，}$$u$をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．また，$\cos \mathrm{\angle COD}$を$p$を用いて表しなさい．

(4)　$V$を$p$を用いて表しなさい．

【３】　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，それぞれ$100$個の球が入っている．$1$個のさいころを投げ，$1$の目が出たら箱$\mathrm{A}$の球を$2$個だけ箱$\mathrm{B}$に移動させ，$2$または$3$の目が出たら箱$\mathrm{B}$の球を$3$個だけ箱$\mathrm{C}$に移動させ，$4$以上の目が出たら箱$\mathrm{C}$の球を$4$個だけ箱$\mathrm{A}$に移動させる．$n$回さいころを投げて球を移動させた後，箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に入っている球の数をそれぞれ$A(n)\text{，}$$B(n)\text{，}$$C(n)$とする．ただし，$1\leqq n\leqq 25$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$A(1)=100$である確率を求めなさい．

(2)　$A(4)=100$である確率を求めなさい．

(3)　$A(n)=B(n)=C(n)$となる確率が$0$ではない$n$を求めなさい．また，その確率を求めなさい．ただし，確率は既約分数で分子と分母が素因数分解された形で表しなさい．

【４】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$について次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるとき，${\displaystyle \frac{\beta -\gamma }{\alpha -\gamma }}$の値を求めなさい．

(2)　$\gamma =-1+i$とする．このとき，${\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2+\alpha +\beta =(\alpha +\beta +2)i$は，$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを示しなさい．

【５】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)=(x-3)\sqrt{x}-\sqrt{2}$の極値を求めなさい．

(2)　関数$g(x)=|x-3|\sqrt{x}-\sqrt{2}$の極値を求めなさい．

(3)　関数$h(x)={(|x-3|\sqrt{x}-\sqrt{2})}^2$の極値を求めなさい．