2021　徳島大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=|x^2–7x+10|+|x-2|$とする．

(1)　$1\leqq x\leqq 6$の範囲において，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x+k$の共有点の個数が$4$個になるときの実数$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$2$つの直線$x=1\text{，}$$x=6$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$は$3\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たす．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PG}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{Q}$が平面$\mathrm{OBC}$上にある．このとき，$s$の値を求めよ．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{OA}$上を動く．(2)の点$\mathrm{Q}$に対して，$\left|\overrightarrow{\mathrm{QD}}\right|$の最小値を求めよ．

【３】　$t>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$$(t,1)$と直線$l\text{：}y=ax$$\text{（}a>0\text{）}$を考える．直線$l$上の点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$は原点$\mathrm{O}$以外の点とする．このとき，点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PQ}=\mathrm{QH}$を満たす点$\mathrm{Q}$がただ$1$つに定まるように直線$l$の傾き$a$を決める．

(1)　$a$を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{QH}$を満たす直線$l$上の点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)の点$\mathrm{Q}$に対して，$\mathrm{▵OQH}$の面積を$S$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそのときの点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【４】　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$のどちらの袋にも赤玉$1$個と白玉$5$個が入っている．袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から同時に$1$個ずつ玉を取り出し，袋$\mathrm{A}$から取り出された玉を袋$\mathrm{B}$に入れ，袋$\mathrm{B}$から取り出された玉を袋$\mathrm{A}$に入れる．この操作を$n$回行った時点で，袋$\mathrm{A}$に赤玉$1$個と白玉$5$個が入っている確率を$P_n\text{，}$袋$\mathrm{A}$に赤玉$2$個と白玉$4$個が入っている確率を$Q_n\text{，}$袋$\mathrm{A}$に白玉$6$個が入っている確率を$R_n$とする．

(1)　$P_1$を求めよ．

(2)　$Q_2\text{，}$$R_2$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$P_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{Q_n}{P_n}}$を求めよ．

【１】　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$は$3\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たす．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PG}$と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{D}$は平面$\mathrm{OAC}$上を動く．(2)の点$\mathrm{Q}$に対して，$\left|\overrightarrow{\mathrm{QD}}\right|$の最小値を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}{x}^2-y^2=1$$\text{（}x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{）}$上に点$\mathrm{P}$$(a,b)$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$をとる．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とし，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$m$とする．$l$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$と$l$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．また，$C$と直線$x=a$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_3$とする．

(1)　$S_1$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$t\geqq 0$に対し，$f(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\text{，}$$g(t)={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$とする．点$(f(t),g(t))$は$C$上にあることを示せ．

(3)　(2)の$f(t)\text{，}$$g(t)$に対し，正の実数$s$は$f(s)=a\text{，}$$g(s)=b$を満たすとする．$S_3$を$s$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が，$C$から点$(1,0)$を除いた曲線上を動くとする．$S_1-S_2$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を整数，$c$を平方数ではない自然数として，$r={\displaystyle \frac{b+\sqrt{c}}{a+\sqrt{c}}}\text{，}$$n=r-{\displaystyle \frac{1}{r}}$とする．ただし，平方数とはある自然数の$2$乗で表される数のことである．また，$\sqrt{c}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

(1)　$c=5\text{．}$$r={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$であるとき，$a\text{，}$$b$および$n$を求めよ．

(2)　$a=-1$とする．$n$が自然数となる組$(b,c,n)$をすべて求めよ．

(3)　$n=-a$かつ$a<-1$となる組$(b,c,n)$をすべて求めよ．

【４】　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$のどちらの袋にも赤玉$2$個，白玉$2$個，青玉$2$個の合計$6$個の玉が入っている．袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から同時に$1$個ずつ玉を取り出し，この$2$個の玉の色が一致しているかどうかを確認する作業を，袋から取り出す玉がなくなるまで$6$回繰り返す．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(1)　玉の色が$1$度も一致しない確率を求めよ．

(2)　$1$回目に玉の色が一致するとき，$2$回目に玉の色が一致する条件付き確率を求めよ．

(3)　$1$回目から$3$回目までに玉の色が少なくとも$1$度一致するとき，$6$回の作業で玉の色がちょうど$2$度一致する条件付き確率を求めよ．