2021　徳島大学　後期理工学部MathJax

【１】　$f(x)={(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$とする．

(1)　曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$p>1$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(p,f(p))$における接線が原点を通るとき，$p$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$p$に対して，曲線$y=f(x)$と直線$x=p$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=4$とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{N}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$$=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CM}}$$=\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}=2$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{ON}$の長さを求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{OMCN}$の面積$S$を求めよ．

【３】　複素数$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$の値を求めよ．

(2)　$\alpha =z+x^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8$とする．$\alpha$の値を求めよ．

(3)　$\beta =(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)$$(1-z^6)$$(1-z^7)$$(1-z^8)$とする．$\beta$の値を求めよ．

(4)　$t=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$のとき，$t^4+t^3-3t^2-2t$の値を求めよ．