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2021 愛媛大学 前期

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【1】 以下の問いに答えよ.

(1)  i を虚数単位とする. (1 +3 i)5 -{ 1+( 3i )5 } の実部を求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(2)  0<α< π2 π 2<β <π で, sinα= 13 sinβ= 15 のとき, cos( α+β ) の値を求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(3)  a>0 とする.座標空間における 3 A (a,0 ,0) B (0,3 ,0) C (0,0, 4) について, ∠ABC=60 ° となる a の値を求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(4) 曲線 y= x3-x2 -2x x 軸とで囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ.

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【4】(6)と同一問題

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【1】 以下の問いに答えよ.

(5)  1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD がある.頂点 A B C D を移動する点 P は, 1 回の移動で,今いる頂点から他の 3 つの頂点のいずれかへ移動する.ただし,距離が 2 離れた頂点へ移動する確率は 1 5 で,他の 2 つの頂点へ移動する確率はそれぞれ 2 5 である.点 P が頂点 A を出発するとき, 3 回の移動でちょうど A に戻る確率を求めよ.

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【5】(1)と同一問題

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【2】 以下の問いに答えよ.

(1) 自然数 n 6 で割ると 5 余るとする.このとき, n3+1 18 の倍数であることを示せ.

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【5】(2)と同一問題

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【2】 以下の問いに答えよ.

(2) 座標平面において,不等式 (x +y-1) (x2 +y2-2 y-1) 0 の表す領域を図示せよ.

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【2】 以下の問いに答えよ.

(3) 等式 |x |+|1 -2x| =3 を満たす実数 x をすべて求めよ.

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【2】 以下の問いに答えよ.

(4) 導関数の定義にしたがって,関数 f (x) =-x 2+3x 2 の導関数を求めよ.

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【3】 以下の問いに答えよ.

2021年愛媛大【3】2021108010110の図

図1

(1)  a b を正の定数とし,座標平面上の 2 A B の座標を,それぞれ (a ,0) (0,b ) とする.線分 AB 上の A B とは異なる点 P (x,y ) を考える(図1).座標が ( x,y) (0,y ) (0,0 ) (x,0 ) である 4 点を頂点とする長方形の面積を S とする.

(ⅰ)  S a b x を用いて表せ.

(ⅱ)  S が最大となるときの点 P の座標,および,そのときの S a b を用いて表せ.

(2) 座標平面上の 2 P 0 Q の座標を,それぞれ (1 ,0) (0,3 ) とする.点 P 1 P2 P3 Pn および,実数 S1 S2 S3 Sn を次のように順に定める.

 自然数 n に対し,点 P n-1 が定められたとき, Pn- 1 の座標を ( xn-1 ,yn- 1) とする.線分 P n-1 Q 上の P n-1 Q とは異なる点 P (x,y ) を考える.座標が (x ,y) (0,y ) (0,y n-1 ) (x,y n-1 ) である 4 点を頂点とする長方形の面積が最大となるときの点 P P n とし,そのときの面積を Sn とする.

(ⅰ)  S1 S2 を求めよ.

(ⅱ) 数列 { Sn} の一般項を求めよ.

(ⅲ)  S1+ S2++ Sn n を用いて表せ.

(ⅳ)  S1+ S2++ Sn>1- 10-11 となる最小の n を求めよ.ただし, 0.301<log10 2<0.302 を用いてよい.



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【4】 以下の問いに答えよ.

(1) 不定積分 x1+ x2 dx を求めよ.

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【4】 以下の問いに答えよ.

(2) 定積分 1e (3x 2+2x )log xdx を求めよ.

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【4】 以下の問いに答えよ.

(3)  2 つの曲線 y=cos π x2 y=x2 -1 で囲まれた部分の面積を求めよ.

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【4】 以下の問いに答えよ.

(4)  i を虚数単位とし, α=cos π14 +i sin π14 とする. k=1 2 3 27 のうち, (a k)8 =1 となる k をすべて求めよ.

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【4】 以下の問いに答えよ.

(5)  100 未満の正の整数全体の集合を全体集合 U とし,

A={n |n U n 3 で割ると 1 余る整数 }

B={ n|n U n は偶数 }

とする.このとき,集合 A B の要素の個数を求めよ.ただし, B U に関する B の補集合とする.

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【5】 以下の問いに答えよ.

(3)  p を実数の定数とし,次の式で定められる数列 { an} を考える.

a1=2 an+1 =pan +2 n=1 2 3

数列 { an} の一般項を求めよ.さらに,この数列が収束するような p の値の範囲を求めよ.

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【5】 以下の問いに答えよ.

(4)  x>0 のとき, 6log x2x 3-9 x2+18 x-11 が成り立つことを示せ.

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2021年愛知大前期【6】2021108010118の図

(図2)

【6】 四面体 OABC は,

AB=AC=OB =OC=1 0<∠BOC= ∠ABO< π2

を満たすとする(図2).以下では, x=sin ∠BOC2 とおき, OA= a OB= b OC= c とする.以下の問いに答えよ.

(1) 次の   に適する値を x を用いて表せ.解答は解答用紙の指定のところに記入せよ.

(ⅰ) 辺 BC の長さは であり, cos∠BOC= である.

(ⅱ) 内積について, b c= a b= a c= である.

(2)  s 0<s <1 を満たす実数とする.辺 BC s: (1-s ) に内分する点を P とし, A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OP の交点を H とする.

(ⅰ) 線分 OP の長さを s x を用いて表せ.

(ⅱ)  OH= kOP となる実数 k s x を用いて表せ.

(ⅲ)  s= 12 のとき, AH BC であることを示せ.

(3) 四面体 OABC の体積を V とする.

(ⅰ)  V x を用いて表せ.

(ⅱ)  ∠BOC 0< ∠BOC< π2 の範囲を動くとき, V の最大値を求めよ.また, V が最大となるとき,平面 OBC と平面 ABC のなす角 α を求めよ.ただし, 0<α π2 とする.

志望別問題選択一覧

教育(学校教育教員養成課程数I・数II・数A・数B受験者)工(社会デザインコース),農学部 【1】,【2】,【3】

教育(学校教育教員養成課程数I・数II・数III・数A・数B受験者)学部 【2】,【3】,【4】

理,工(環境建設工学科社会デザインコース除く),医(医学科)学部 【4】,【5】,【6】

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