2021　高知大学　前期MathJax

【１】　実数$x$に対して，$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3+3x$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$f(x-2)=f(x)$をみたす実数$x$をすべて求めよ．

(3)　実数$s$に対して，$f(x)$の$x\leqq s$の範囲における最小値を$g(s)$とおく．このとき，$t=g(s)$のグラフをかけ．

(4)　実数$s$に対して，$f(x)$の$s-2\leqq x\leqq s$の範囲における最小値を$h(s)$とおく．このとき，$t=h(s)$のグラフをかけ．

【２】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$および，すべての自然数$m$に対して，

$a_{2m}=a_{2m-1}+1\text{，}$$a_{2m+1}=2a_{2m}$

をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さがそれぞれ$2\text{，}$$3\text{，}$$4$であるような三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が$\mathrm{ABC}$の面積を$2$等分するように，それぞれ辺$\mathrm{AB}$上，辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AP}\text{，}$線分$\mathrm{AQ}$の長さを，それぞれ$x\text{，}$$y$とおく．さらに，$k=x-y$とおく．このとき，$\mathrm{PQ}$の長さを，$k$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

【４】　$\alpha$と$\beta$は異なる複素数とし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上の点$\gamma$は点$\alpha$と点$\beta$を結ぶ直線上にないとする．このとき，$4$点$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$\delta$が平行四辺形の頂点となるような$\delta$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{z-\alpha }{z-\beta }}$が実数となるような点$z$の集合は複素数平面上のどのような図形となるかを述べよ．

(3)　複素数$z$には$t(z-\alpha )=i(z-\beta )$をみたすような実数$t$があるとする．このような点$z$の集合は複素数平面上のどのような図形となるかを述べよ．