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2021-10841-0201
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
2021 福岡教育大学 後期
教育(中等教育数学専修)学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(問1) 2 次方程式 x2 +ax+2- 3⁢a=0 が 2 つの整数の解をもつような定数 a の値を求めよ.
2021-10841-0202
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁14行)へ
(問2) t が 1 より大きい実数の範囲を動くとき
(log2 ⁡t+logt ⁡2)⁢ (log2 ⁡t+logt ⁡4)
の最小値を求めよ.
2021-10841-0203
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁18行)へ
(問3) 方程式 x6 =1 の解を 1 つ選び, 1 個のさいころを投げる.選んだ解を z , さいころの出た目を a とするとき xa =1 となる確率を求めよ.
2021-10841-0204
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁7行)へ
【2】 OA=OB=2 , OC=4⁢ 2, ∠AOB= π3 , ∠BOC= π4 , ∠COA= π2 を満たす四面体 OABC について,次の問いに答えよ.
(問1) 内積 OA→ ⋅OB→ , OB→⋅ OC→ . OC→⋅ OA→ の値を求めよ.
(問2) 点 B から 3 点 O , A , C を通る平面 α に下ろした垂線と α の交点を H とおく. OH→ を OA → , OC→ を用いて表せ.
(問3) BH の長さを求めよ.
(問4) 2 点 O , H を通る直線と直線 AC の交点を I とおく.四面体 HABI の体積を求めよ.
2021-10841-0205
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁7行)へ
【3】 a, b を実数とし, k を正の実数とする. 3 次方程式 3⁢x 3+a⁢x 2+b⁢x -2⁢k3 =0 は虚数解 α をもち, α は |α |=k , α2+k ⁢α‾= 0 を満たしている.ただし, α‾ は α の共役複素数を表す.次の問いに答えよ.
(問1) α‾ が 3⁢ x3+a ⁢x2+ b⁢x-2 ⁢k3= 0 の解であることを示せ.
(問2) a, b を k を用いて表せ.
(問3) k=2 のとき 3 次方程式 3⁢ x3+a ⁢x2+ b⁢x-2 ⁢k3= 0 の虚数解で虚部が負であるものを β とおく.複素数平面上の 3 点 O ⁡(0 ), A⁡( β-γ) , B⁡( β+γ ) を頂点とする三角形が O を直角の頂点とする直角二等辺三角形になるような複素数 γ をすべて求めよ.
2021-10841-0206
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁7行)へ
【4】 関数 f⁡ (x)= sin⁡2⁢x +2⁢sin⁡ x (0 ≦x≦2⁢π ) の最大値を M とする.次の問いに答えよ.
(問1) M の値を求めよ.
(問2) 曲線 y=f ⁡(x ) と y 軸および直線 y=M によって囲まれた部分の面積を求めよ.
(問3) a を実数とするとき, ∫0 π{ f⁡(x )-a} 2⁢dx の最小値とそのときの a の値を求めよ.