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2021 福岡教育大学 後期

教育(中等教育数学専修)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(問1)  2 次方程式 x2 +ax+2- 3a=0 2 つの整数の解をもつような定数 a の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(問2)  t 1 より大きい実数の範囲を動くとき

(log2 t+logt 2) (log2 t+logt 4)

の最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(問3) 方程式 x6 =1 の解を 1 つ選び, 1 個のさいころを投げる.選んだ解を z さいころの出た目を a とするとき xa =1 となる確率を求めよ.

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【2】  OA=OB=2 OC=4 2 ∠AOB= π3 ∠BOC= π4 ∠COA= π2 を満たす四面体 OABC について,次の問いに答えよ.

(問1) 内積 OA OB OB OC OC OA の値を求めよ.

(問2) 点 B から 3 O A C を通る平面 α に下ろした垂線と α の交点を H とおく. OH OA OC を用いて表せ.

(問3)  BH の長さを求めよ.

(問4)  2 O H を通る直線と直線 AC の交点を I とおく.四面体 HABI の体積を求めよ.

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【3】  a b を実数とし, k を正の実数とする. 3 次方程式 3x 3+ax 2+bx -2k3 =0 は虚数解 α をもち, α |α |=k α2+k α= 0 を満たしている.ただし, α α の共役複素数を表す.次の問いに答えよ.

(問1)  α 3 x3+a x2+ bx-2 k3= 0 の解であることを示せ.

(問2)  a b k を用いて表せ.

(問3)  k=2 のとき 3 次方程式 3 x3+a x2+ bx-2 k3= 0 の虚数解で虚部が負であるものを β とおく.複素数平面上の 3 O (0 ) A( β-γ) B( β+γ ) を頂点とする三角形が O を直角の頂点とする直角二等辺三角形になるような複素数 γ をすべて求めよ.

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【4】 関数 f (x)= sin2x +2sin x 0 x2π の最大値を M とする.次の問いに答えよ.

(問1)  M の値を求めよ.

(問2) 曲線 y=f (x ) y 軸および直線 y=M によって囲まれた部分の面積を求めよ.

(問3)  a を実数とするとき, 0 π{ f(x )-a} 2dx の最小値とそのときの a の値を求めよ.

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