2021　福岡教育大学　追試験MathJax

$3{\alpha }_n+{(-1)}^n{\alpha }_n{\beta }_n+3{\beta }_n=1$

をみたしている．次の問いに答えよ．

(問1)　$b_n=3^n{a}_n$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(問2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(問3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a}_k$の値を求めよ．

(問1)　$z_0\text{，}$$u\text{，}$$u$を異なる$3$つの複素数とする．複素数平面において点$u\text{，}$$v$を点$z_0$を中心に角$\theta$だけ回転した点をそれぞれ$u^{\prime }\text{，}$$v^{\prime }$とする．このとき，$2$点$u^{\prime }\text{，}$$v^{\prime }$間の距離と$u\text{，}$$v$間の距離が等しいことを示せ．

(問2)　$\alpha =\sqrt{3}+i\text{，}$$\beta =(\sqrt{3}+1)(1+i)\text{，}$$\gamma =2\sqrt{3}+2i$とする．複素数平面において点$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を点$\sqrt{2}-\sqrt{2}i$を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点をそれぞれ${\alpha }^{\prime }\text{，}$${\beta }^{\prime }\text{，}$${\gamma }^{\prime }$とする．また，$\alpha$の共役複素数$\bar{\alpha }$が表す点を点$\sqrt{2}-\sqrt{2}i$を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点を$w$とする．複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$${\alpha }^{\prime }\text{，}$${\beta }^{\prime }\text{，}$${\gamma }^{\prime }\text{，}$$w$が表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$とする．次の(ア)，(イ)，(ウ)に答えよ．

(ア)　$\mathrm{▵ABC}$の内角$\mathrm{\angle CAB}$の大きさを求めよ．

(イ)　$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積を求めよ．

(ウ)　複素数$z$が表す点を$\mathrm{P}$としたとき$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }\mathrm{P}$が正三角形になるような$z$をすべて求めよ．

(問1)　$t=\cos x$とおいたとき，$\cos 3x$を$t$を用いて表せ．

(問2)　$M$および$m$の値を求めよ．

(問3)　${\displaystyle {\int }_a^b}(2\cos 3x-3\cos 2x-6\cos x)\sin x\mathit{dx}$の値を求めよ．