2021　九州大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の中心の座標を求めよ．

(2)　中心が第$1$象限にあり，$x$軸と$y$軸の両方に接し，直線$\mathrm{AB}$と異なる$2$つの交点をもつような円を考える．この$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の条件$\mathrm{A}$をみたす座標平面上の点$(x,y)$全体の集合を図示せよ．

条件$\mathrm{A}$：すべての実数$t$に対して$y\geqq xt-2t^2$が成立する．

(2)　次の条件$\mathrm{B}$をみたす座標平面上の点$(x,y)$全体の集合を図示せよ．

条件$\mathrm{B}$：$\left|t\right|\leqq 1$をみたすすべての実数$t$に対して$y\geqq xt-2t^2$が成立する．

【３】　$a$を正の実数とし，放物線

$C\text{：}y=-x^2-2ax-a^3+10a$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$l\text{：}y=8x+6$が接するような$a$の値を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた値のとき，放物線$C\text{，}$直線$l\text{，}$$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{2}^{k-1}$

を求めよ．

(2)　次のように定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(n+1-k)a_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,2)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の中心の座標を求めよ．

(2)　中心の$x$座標，$y$座標，$z$座標がすべて正の実数であり，$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面のすべてと接する球を考える．この球が平面$\mathrm{ABC}$と交わるとき，その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ．

【２】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$をみたす定数とし，$x$の$2$次方程式

$x^2-(4\cos \theta )x+{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}=0$$\cdots$(＊)

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式(＊)が実数解をもたないような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\theta$が(1)で求めた範囲にあるとし，(＊)の$2$つの虚数解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\alpha$の虚部は$\beta$の虚部より大きいとする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{O}(0)$を通る円の中心を$\mathrm{C}(\gamma )$とするとき，$\theta$を用いて$\gamma$を表せ．

(3)　点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$を(2)のように定めるとき，三角形$\mathrm{OAC}$が直角三角形になるような$\theta$に対する$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の点$(x,y)$について，次の条件を考える．

条件：すべての実数$t$に対して$y\leqq e^t-xt$が成立する．$\cdots$(＊)

以下の問いに答えよ．必要ならば$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を使ってよい．

(1)　条件(＊)をみたす点$(x,y)$全体の集合を座標平面上に図示せよ．

(2)　条件(＊)をみたす点$(x,y)$のうち，$x\geqq 1$かつ$y\geqq 0$をみたすもの全体の集合を$S$とする．$S$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　自然数$n$と実数$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$$\text{（}{a}_n\ne 0\text{）}$に対して，$2$つの整式

$f(x)$$={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{a}_k{x}^k=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+$$\cdots +a_{1}x+a_0$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k{x}^{k-1}$$=n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}$$+\cdots +a_1$

を考える．$\alpha \text{，}$$\beta$を異なる複素数とする．複素数平面上の$2$点$\alpha \text{，}$$\beta$を結ぶ線分上にある点$\gamma$で，

${\displaystyle \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(\gamma )$

をみたすものが存在するとき，

$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$f(x)$は平均値の性質をもつ

ということにする．以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$n=2$のとき，どのような$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$f(x)$も平均値の性質をもつことを示せ．

(2)　$\alpha =1-i\text{，}$$\beta =1+i\text{，}$$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が平均値の性質をもつための，実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に関する必要十分条件を求めよ．

(3)　$\alpha ={\displaystyle \frac{1-i}{\sqrt{2}}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}\text{，}$$f(x)=x^7$は，平均値の性質をもたないことを示せ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n\text{，}$$k$が$2\leqq k\leqq n-2$をみたすとき，${}_{n}C_k>n$であることを示せ．

(2)　$p$を素数とする．$k\leqq n$をみたす自然数の組$(n,k)$で${}_{n}C_k=p$となるものをすべて求めよ．