2021　九州大学　後期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ$5\text{，}$$7\text{，}$$6$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす点とする．さらに，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{H}\text{，}$線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{AR}:\mathrm{RH}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{RHC}$の面積を求めよ．

【２】　$M$を$2$以上の自然数，$p$を実数として，次の条件によって定められる$3M$個の項からなる数列$a_1,$$a_2,$$a_3,$$\cdots ,$$a_{3M}$を考える．

$a_{n+2}-a_{n+1}+a_n={\displaystyle \frac{3n+p}{27M^3}}\text{，}$$a_1=0\text{，}$$a_2=0$

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$3M-1\text{）}$とするとき，数列$b_1,$$b_2,$$b_3,$$\cdots ,$$b_{3M-1}$の一般項$b_n$を求めよ．

(2)　数列$a_1,$$a_2,$$a_3,$$\cdots ,$$a_{3M}$の一般項$a_n$を求めよ．さらに，$a_{3M}=0$を満たす$p$を$p_M$とするとき，$p_M$を$M$の式で表せ．

(3)　(2)で求めた$p_M$について，$p=p_M$の場合における数列$a_1,$ $a_2,$$a_3,$$\cdots ,$$a_{3M}$の中で最小の項を$c_M$とする．$a_n=c_M$となるすべての$n$を$M$の式で表せ．さらに，$\underset{M\to \infty }{\lim }{c}_M$を求めよ．

【３】　実数$a$は$a>1$とする．曲線$y=e^x$と直線$y=a-1\text{，}$直線$y=a$および$y$軸で囲まれた部分を$y$軸の周りに一回転させて得られる立体の体積を$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$V(a)$を求めよ．

(2)　$V(a)$を最小とする$a$の値を求めよ．

(3)　次の極限を求めよ．

$\underset{a\to \infty }{\lim }(V(a)-V(a-1))$

　必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を証明なしで用いてよい．

【４】　正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$上の動点$\mathrm{P}$が，時刻$0$には頂点$\mathrm{B}$にいるとする．$0$以上の整数$n$に対して，時刻$n+1$の$\mathrm{P}$の位置が，時刻$n$の$\mathrm{P}$の位置から以下のルールに従って決まるとする．

・時刻$n$に$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にいる場合

時刻$n+1$に$\mathrm{P}$はそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{6}}$で頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる．

・時刻$n$に$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいる場合

時刻$n+1$に$\mathrm{P}$はそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$で頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$にいる．

・時刻$n$に$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいる場合

時刻$n+1$に$\mathrm{P}$はそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$で頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる．

・時刻$n$に$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にいる場合

時刻$n+1$に$\mathrm{P}$はそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$で頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる．

$0$以上の整数$n$に対して，時刻$n$に$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$n$が$3$の倍数のときの$b_n-c_n$と$c_n-d_n$を求めよ．

(3)　$n$が$3$の倍数のときの$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$を求めよ．

【５】　$f(x)$を次の条件を満たす$3$次の多項式とする．

(a)　$x^3$の係数は$1$である．

(b)　$0\text{，}$$1\text{，}$$-1$ではない複素数$\omega$が存在して，すべての自然数$n$について$f({\omega }^n)=0$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)　$\omega =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$または$\omega =-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$であることを示せ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　$g(x)$を次の多項式とする．

$g(x)={\displaystyle \sum _{n=0}^{2021}}{x}^n=x^{2021}+x^{2020}+\cdots +1$

$g(x)$を$f(x)$で割ったときの余りを求めよ．