2021　佐賀大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=4\text{，}$$\cos B={\displaystyle \frac{3}{4}}$をみたす$\mathrm{▵ABC}$について，次の問に答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle C}$が鋭角のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(3)　(2)の$\mathrm{▵ABC}$に対して，その外接円および内接円の半径をそれぞれ求めよ．

【２】　$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　${\alpha }^2$と${\alpha }^3$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt{3}\text{，}$$\sqrt{6}$を，それぞれ有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて$a{\alpha }^3+b{\alpha }^2+c\alpha +d$の形に表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}}$を，有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて$a{\alpha }^3+b{\alpha }^2+c\alpha +d$の形に表せ．

(4)　(1)，(2)，(3)で示した式のいずれかを用いることにより，$\alpha$が有理数または無理数のどちらになるか，理由をつけて答えよ．ただし，$\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt{3}\text{，}$$\sqrt{6}$が無理数であることは用いてもよい．

【３】　$f(x)=2x^2+x+1$とおき，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(1,4)$における接線を$l$とする．点$\mathrm{P}$を通り，$l$とのなす角が$45\mathrm{°}$である直線で，傾きが正であるものを$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{），}$直線$m\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(3,-1)$のとき，

$\overrightarrow{p}=(\cos \theta )\overrightarrow{a}+(\sin \theta )\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{q}=({\cos }^2\theta )\overrightarrow{a}+({\sin }^2\theta )\overrightarrow{b}$

とおく．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\text{，}$内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$の値をそれぞれ求め，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$t=\sin \theta +\cos \theta$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．また，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を$t$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　$f(x)=-x^3+4x$とおく．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(t,f(t))$における接線を$l$とする．ただし，$0<t<2$とする．$y=f(x)$$\text{（}t\leqq x\leqq 2\text{），}$$x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq t\text{），}$直線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とし，$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．

(4)　$t$が$0<t<2$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt{3}\text{，}$$\sqrt{6}$を，それぞれ有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて$a{\alpha }^3+b{\alpha }^2+c\alpha +d$の形に表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}}$を，有理数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて$a{\alpha }^3+b{\alpha }^2+c\alpha +d$の形に表せ．

(2)　(1)，(2)で示した式のいずれかを用いることにより，$\alpha$が有理数または無理数のどちらになるか，理由をつけて答えよ．ただし，$\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt{3}\text{，}$$\sqrt{6}$が無理数であることは用いてもよい．