2021　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$で定義された関数$y=\sin 2x-2\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+1$がある．

　$\sin x+\cos x=t$とおくとき，$t$の値の範囲を求め，$y$を$t$の式で表せ．また，関数$y$の最大値と最小値，およびそのときの$t$と$x$の値をそれぞれ求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=5$と直線$l\text{：}x+3y-5=0$がある．円$C$と直線$l$との$2$つの交点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$$$（$\mathrm{A}$の$x$座標は，$\mathrm{B}$の$x$座標より小さい）における接線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とし，$l_1$と$l_2$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$l_1\text{，}$$l_2$の式および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，直線$\mathrm{OP}$と円$C$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，線分の長さの積$\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}$を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$t$の関数$S(t)$を，$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-t^2|\mathit{dx}$とする．このとき，$S(1)$の値を求めよ．また，$0\leqq t\leqq 1$における$S(t)$の最大値と最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　右図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{DEFG‐OABC}$がある．点$\mathrm{L}$は線分$\mathrm{AE}$を$1:1$に，点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点である．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$を通る平面$T$は，辺$\mathrm{EF}$および辺$\mathrm{GF}$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，(1)については答えのみでよい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OL}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\text{，}$および$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}$を求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle LOM}$の値，および$\mathrm{▵LOM}$の面積$S_1$を求めよ．

(3)　$\mathrm{EP}:\mathrm{PF}=p:(1-p)$$\text{（}0<p<1\text{），}$$\mathrm{GQ}:\mathrm{QF}=q:(1-q)$$\text{（}0<q<1\text{）}$とする．このとき，$p$と$q$の値を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{LP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．また，五角形$\mathrm{OLPQM}$の面積$S_2$を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq 3$で定義された関数$y=-2{({\log }_{3}3x)}^3+3{({\log }_{3}x+1)}^2+1$がある．関数$y$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　以下で定義される数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_2=4\text{，}$$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$を満たす$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求め，極限を調べよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$2$回微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$x$について次の等式を満たしている．

$f(x)=2+{\displaystyle {\int }_0^x}\sin (x-t)f(t)\mathit{dt}$

このとき，$f^{″}(x)$が定数であることを示せ．また，$f(0)$および$f^{\prime }(0)$の値から，$f^{\prime }(x)$と$f(x)$をそれぞれ求めよ．

【４】　右図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{DEFG‐OABC}$がある．点$\mathrm{L}$は線分$\mathrm{AE}$を$1:1$に，点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点である．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$を通る平面$T$は，辺$\mathrm{EF}$および辺$\mathrm{GF}$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，(1)，(2)については答えのみでよい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表し，$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OL}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\text{，}$および$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}$を求めよ．また，$\cos \mathrm{\angle LOM}$の値，および$\mathrm{▵LOM}$の面積$S_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{EP}:\mathrm{PF}=p:(1-p)$$\text{（}0<p<1\text{），}$$\mathrm{GQ}:\mathrm{QF}=q:(1-q)$$\text{（}0<q<1\text{）}$とする．このとき，$p$と$q$の値を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{LP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．また，五角形$\mathrm{OLPQM}$の面積$S_2$を求めよ．

(5)　点$\mathrm{D}$から平面$T$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．また$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{DH}}\right|$を求め，$\mathrm{D}$を頂点とする互角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{D‐OLPQM}$の体積$V$を求めよ．

【５】　$xy$座標平面上の原点を通る$2$直線$m_1\text{：}y=(\tan \theta )x\text{，}$$m_2\text{：}y=(\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}))x$が，直線$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．$\tan \theta =t$とするとき，関数$f(t)$を線分$\mathrm{PQ}$の長さと定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$t$の値の範囲を求め，$f(t)$を$t$の式で表せ．

(2)　$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$と$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$f(t)$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$f^{\prime }(t)$を求め，$f(t)$の増減表を作成せよ．また，$l=f(t)$のグラフの漸近線の式を求め，$tl$座標平面上に$l=f(t)$のグラフの概形をかけ．

(4)　$f(t)$の最小値を求めよ．また，このときの$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標，および$\theta$の値を求めよ．

【６】　$xy$座標平面上に$4$点$\mathrm{A}$$(0,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,1)$を頂点とする長方形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を通る$2$直線$m_1\text{：}y=(\tan \theta )x\text{，}$$m_2\text{：}y=(\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}))x$が長方形の辺と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．$\tan \theta =t$とするとき，関数$f(t)$を以下のように定義する．

$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta \leqq 0$のとき，$f(t)$は線分$\mathrm{PQ}$の長さとする．

$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$f(t)$は線分$\mathrm{PC}$の長さと線分$\mathrm{CQ}$の長さの和とする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を$t$の式で表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$のとき，$f(t)$の値を求めよ．

(3)　$f(t)$が，$t=0$で微分可能であるかどうか調べよ．

(4)　$f(t)$の増減表を作成せよ．$\underset{t\to -1+0}{\lim }f(t)\text{，}$$\underset{t\to 1-0}{\lim }f(t)$を求め，$f(t)$の最大値と最小値，およびこのときの$t$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

【７】　$a>0$とし，$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を，それぞれ以下のように定義する．

$\begin{array}{ll}f(x)=e^x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ g(x)=a{x}^2& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=g(x)$は，ともに点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$において共通な直線$l$に接しているものとする．点$\mathrm{P}$の$x$座標が$p$$\text{（}p>0\text{）}$であるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$a$と$p$の値，および直線$l$の式を求めよ．

(2)　$x>0$において定義される関数$h(x)=\log f(x)-\log g(x)$について，$h(x)$の増減表を作成せよ．また，$x\geqq 0$ならば$f(x)\geqq g(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　$2$つの曲線$C_1$と$C_2$および$y$軸とで囲まれる図形$F$の面積$S$を求めよ．

(4)　(3)の図形$F$を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【８】　自然数$n$に対して定まる複素数平面上の点${\mathrm{P}}_n(z_n)$があり，$z_n$は以下の式を満たしている．

$z_{n+1}={\displaystyle \frac{z_n-2}{2z_n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$z_1$は$\left|z_1\right|=1$を満たすものとする．また，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$z_{n+1}=z_n$となる$z_n$を求めよ．また，$z_{n+1}=-z_n$となる$z_n$を求めよ．

(2)　すべての$n$に対して，$\left|z_n\right|=1$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$z_{n+2}$を$z_n$で表せ．また，点${\mathrm{P}}_1$を定めたとき，線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さは，すべての$n$に対して一定であることを説明せよ．

(4)　$z_n\text{，}$$z_{n+1}$について，$z_n=z+yi$（$x\text{，}$$y$は実数），$z_{n+1}=X+Yi$（$X\text{，}$$Y$は実数）とする．$X<0$かつ$Y>0$となるような点${\mathrm{P}}_n(z_n)$の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．

【９】　自然数$n$に対して定まる複素数平面上の点${\mathrm{P}}_n(z_n)$があり，$z_n$は以下の式を満たしている．

$z_{n+1}={\displaystyle \frac{z_n-2}{2z_n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$z_1$は$\left|z_1\right|=1$を満たすものとする．また，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，$\left|z_n\right|=1$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　$z_{n+2}$を$z_n$で表せ．また，点${\mathrm{P}}_1$を定めたとき，線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さは，すべての$n$に対して一定であることを説明せよ．

(3)　$z_n\text{，}$$z_{n+1}$について，$z_n=z+yi$（$x\text{，}$$y$は実数），$z_{n+1}=X+Yi$（$X\text{，}$$Y$は実数）とする．$X<0$かつ$Y>0$となるような点${\mathrm{P}}_n(z_n)$の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．

(4)　複素数平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$z_1=a+bi$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$とする．すべての$n$に対して，$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$が直角三角形となるような$a$と$b$の値を求めよ．

【10】　図１，図２のように，原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$座標空間に扇形$\mathrm{OAB}$と直円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$がある．図１の扇形$\mathrm{OAB}$は，線分$\mathrm{OA}$を半径とし，中心角の大きさを$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする$yz$平面上の扇形である．図２の直円錐は，線分$\mathrm{OA}$を母線とし，線分$\mathrm{AC}$を底面の円の直径とする円錐である．図１，図２の点$\mathrm{A}$の座標を$\mathrm{A}$$(0,3,0)\text{，}$点$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{C}$$(0,{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}})$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　図１の扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$T_1$とする．平面$y=t$$\text{（}0\leqq t\leqq 3\text{）}$で$T_1$を切ったときの断面積$S_1(t)$を$t$の式で表せ．

(2)　(1)の回転体$T_1$の体積$V_1$を求めよ．

(3)　図２の直円錐を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$T_2$とする．平面$y=t$$\text{（}0\leqq t\leqq 3\text{）}$で$T_2$を切ったときの断面積$S_2(t)$を$t$の式で表せ．

(4)　(3)の回転体$T_2$の体積$V_2$を求めよ．

(5)　(2)の$V_1$と(4)の$V_2$の大小を調べよ．

【11】　$1$回投げると，確率$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$で表，確率$1-p$で裏が出るコインがある．このコインを投げたとき，動点$\mathrm{P}$は，表が出れば$+1\text{，}$裏が出れば$-1$だけ，数直線上を移動することとする．はじめに，$\mathrm{P}$は数直線の原点$\mathrm{O}$にあり，$n$回コインを投げた後の$\mathrm{P}$の座標を$X_n$とする．以下の問いに答えよ．必要に応じて，正規分布表を用いても良い．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$X_4$と$X_5$の確率分布，平均および分散を，それぞれ求めよ．

(2)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$6$回コインを投げて，$6$回目ではじめて原点$\mathrm{O}$に戻る確率を求めよ．

(3)　$X_1$の平均と分散を，それぞれ$p$を用いて表せ．また，$X_n$の平均と分散を，それぞれ$n$と$p$を用いて表せ．

(4)　コインを$100$回投げたところ$X_{100}=28$であった．このとき，$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めよ．

教育（小学，幼児，特別支援，中学（実技系）教育コース），経済，環境科，水産学部　【１】，【２】

教育（中学（理系）教育コース），薬，歯，工学部　【３】，【４】，【５】必須，【７】．【８】から１題選択

医学部　【３】，【４】，【６】必須，【９】，【10】から１題選択

情報データ科学部　【３】，【４】，【５】必須，【７】，【８】．【11】から１題選択