2021　熊本大学　前期MathJax

【１】　$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-2x-4\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-2$について，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の$2$つの交点の$x$座標を$a\text{，}$$b$$\text{（}a>b\text{）}$とする．

(問１)　$a\text{，}$$b$を求めよ．

(問２)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(問３)　実数$t$は$t>\left|a\right|$かつ$t>\left|b\right|$を満たすとする．$4$つの不等式

$x\geqq a\text{，}$$y\leqq f(x)\text{，}$$y\geqq g(x)\text{，}$$x\leqq t$

を满たす領域の面積を$S_1\text{，}$また，$4$つの不等式

$x\leqq b\text{，}$$y\leqq f(x)\text{，}$$y\geqq g(x)\text{，}$$x\geqq -t$

を满たす領域の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和が(問2)の$S$と等しいときの$t$の値を求めよ．

【２】　空間の点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$をとる．$\alpha$上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は三角形をなすとし．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．直線$l$は媒介変数$t$を用いて

${\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})+{\displaystyle \frac{t}{3}}(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$

と表されるとする．

(問１)　$l$は平面$\alpha$上にあることを示せ．

(問２)　$l$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{X}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(問３)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{D}$とし．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2\overrightarrow{\mathrm{OD}}$となる点$\mathrm{E}$を考える．点$\mathrm{O}$と$l$上の点$\mathrm{Y}$を通る直線は$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る直線と交点をもつとし，その交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-2x^2+x$上に点${\mathrm{P}}_1$$(2,2)$がある．自然数$n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$に対して点${\mathrm{P}}_n$から点${\mathrm{P}}_{n+1}$を次のように定める．

点${\mathrm{P}}_n$を接点とする$C$の接線を$l_n$とし，$C$と$l_n$の共有点のうち，${\mathrm{P}}_n$と異なるものを${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_n$とする．

(問１)　${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(問２)　接線$l_n$の傾きおよび$y$切片をそれぞれ$a_n$を用いて表せ．

(問３)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$a$を$a>1$である実数とする．$x$についての連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^3+2a{x}^2-a^{2}x-2a^3<0\\ 3x^2-x<4a-12ax\end{array}$

の解について考える．連立不等式の解のうち整数であるものの個数を$m(a)$とする．

(問１)　連立不等式を解け．

(問２)　$a>2$のとき，$m(a)$の最小値を求めよ．

(問３)　$m(a)=4$となる$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　空間の点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$をとる．$\alpha$上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は三角形をなすとし．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．直線$l$は媒介変数$t$を用いて

${\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})+{\displaystyle \frac{t}{3}}(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$

と表されるとする．

(問１)　$l$は平面$\alpha$上にあることを示せ．

(問２)　$\mathrm{▵ABC}$の各辺と直線$l$との交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点$\mathrm{X}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

(問３)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{D}$とし．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2\overrightarrow{\mathrm{OD}}$となる点$\mathrm{E}$を考える．点$\mathrm{O}$と$l$上の点$\mathrm{Y}$を通る直線は$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る直線と交点をもつとし，その交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　複素数$w$は実部，虚部ともに正であるとする．相異なる複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は

${\{(w+2)\alpha \}}^2+{(w\beta )}^2-{(2\gamma )}^2$$=4(w+2){\alpha }^2+2w^2\alpha \beta -8\alpha \gamma$

を満たすとする．$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．

(問１)　${\left({\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}\right)}^2$を$w$を用いて表せ．

(問２)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるときの$w$の値を求めよ．

(問３)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるとする．$w=\alpha$かつ$\mathrm{▵ABC}$の重心が点${\displaystyle \frac{w^2}{2}}$であるとき，$\beta$と$\gamma$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(問１)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$\sin x=\sin 2x$の解を求めよ．

(問２)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|\sin x-\sin 2x|\mathit{dx}$を求めよ．

(問３)　$n$を正の整数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|\sin nx-\sin 2nx|\mathit{dx}$を求めよ．

(問４)　$c$を正の数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^c}|\sin nx-\sin 2nx|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　空間の点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$をとる．$\alpha$上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は三角形をなすとし．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$k$を$1$より大きい定数とする．直線$l$は媒介変数$t$を用いて

${\displaystyle \frac{k}{3}}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})+{\displaystyle \frac{tk}{3}}(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$

と表されるとする．$l$上を点$\mathrm{X}$が動くとき，$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{X}$を通る直線と平面$\alpha$の交点$\mathrm{Y}$の軌跡を$m$とする．

(問１)　$\mathrm{▵ABC}$の各辺と$m$との交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点$\mathrm{Z}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

(問２)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{D}$とする．$l$を含み$\alpha$に平行な平面を$\beta$とし，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る直線と平面$\beta$の交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{O}$と$m$上の点$\mathrm{Y}$を通る直線は$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る直線と交点をもつとし，その交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．

【２】　複素数$w$は実部，虚部ともに正であるとする．相異なる複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は

${\{(w+2)\alpha \}}^2+{(w\beta )}^2-{(2\gamma )}^2$$=4(w+2){\alpha }^2+2w^2\alpha \beta -8\alpha \gamma$

を満たすとする．$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．

(問１)　${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}$の偏角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$のとりうる範囲を求めよ．

(問２)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるときの$w$の値を求めよ．

(問３)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるとする．$w=\alpha$かつ$\mathrm{▵ABC}$の重心が点${\displaystyle \frac{w^2}{2}}$であるとき，$\beta$と$\gamma$の値を求めよ．

【３】　媒介変数$t$を用いて表された曲線

$C\text{：}x={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^t+e^{-t})\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^t-e^{-t})$

を考える．

(問１)　点$\mathrm{M}$の座標を$(0,1)$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{MP}$を最小にする$t$の値$t_0$を求めよ．

(問２)　(問１)の$t_0$に対する曲線$C$上の点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l$とするとき，曲線$C$と接線$l$および$x$軸で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．

(問３)　(問２)の$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(問１)　$n$を正の整数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|\sin nx-\sin 2nx|\mathit{dx}$を求めよ．

(問２)　$c$を正の数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^c}|\sin nx-\sin 2nx|\mathit{dx}$を求めよ．