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2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系を除く),工,農学部

工学部は【2】(1)

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(1) 等式 3x +4y=42 を満たす正の整数 x y の組をすべて求めよ.ただし,解答用紙には,答を導く過程は記入せず,求めた x y の組 (x, y) だけを記入すること.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系を除く),工,農学部

工学部は【2】(2)

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(2) 次の空欄 を適切な数で埋めよ.

2021年宮崎大教育学部【1】(2)2021109410102の図

 正六角形 ABCDEF 6 個の頂点のうち 3 点を結んでできる三角形は全部で 個である.そのうち,直角三角形は 個であり, 3 つの内角のうち少なくとも 1 つが 30 ° である三角形は, 個である.



2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系を除く),農学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(3) 次の空欄 を適切な数で埋めよ.

 座標平面上の 2 つの放物線 C1 y=x2 -3x C2 y=-x2 +5x+24 は, 2 つの交点を持つ.その 2 交点の x 座標 α β α< β は, α= β= である. 2 曲線 C1 C2 で囲まれる部分の面積を S とする. S は,

S= αβ( x 2+ x+ )dx

により求めることができ, S= である.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系を除く),農学部

易□ 並□ 難□

2021年宮崎大教育学部【2】2021109410104の図

【2】 円 O の周上の点 A において円 O の接線を引く.その接線上に A と異なる点 B をとる. B から円 O 2 点で交わるように直線 l を引き,その 2 点のうち B に近い方を C B から遠い方を D とする.ただし,直線 l は, ∠ACD<90 ° を満たすように引く.また,点 B から直線 AC と直線 AD に下ろした垂線の足をそれぞれ E F とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  ∠BFE=∠ADC を示せ.

(2)  BDEF を示せ.



2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系を除く),工,医,農学部

医学部は【1】

易□ 並□ 難□

【3】  p q を実数とする.点 O を原点とする座標空間において, 4

A( 1,1,0 ) B( 0,2,0 ) C( 0,0,6 ) D( p,q,1 )

をとる. 3 A B C を含む平面を α とし, ∠AOD の大きさを θ とし, ▵AOD の面積を S とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  cosθ を, p q を用いて表せ.

(2) 面積 S を, p q を用いて表せ.

(3) 点 D が平面 α 上を動くとき,面積 S の最小値を求めよ.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(1) 次の空欄 を適切な数または数式で埋めよ.

(a) 関数 f( x)=(x +1)2 x+3 の導関数は, f (x)= 2 x+3 である.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(1) 次の空欄 を適切な数または数式で埋めよ.

(b) 関数 f( x)= xsin2 x の導関数は, f (x)= sin 3x である.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(1) 次の空欄 を適切な数または数式で埋めよ.

(c)  a b を正の定数とし, limx (a x2+b x+3-2 x)=2 が成り立つとする.このとき,次の手順で a b の値を求める.

 まず, a b の値によらず,

limx a x2+b x+3+2 xx2 =

が成り立つ.さらに, より, limx (a x2+b x+3-2 x) が有限な値であるから,

limx ( ax2+ bx+3) -4x2 x2 =limx ax2+ bx+3 +2xx 2 limx (a x2+b x+3 2x)

も成り立つ.したがって, a= が得られる.

 このとき, より, b= も得られる.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(2) [A],[B]のいずれか一方を選択し,解答せよ.

[A] 次の空欄 を適切な整数で埋めよ.ただし, i は虚数単位とする.

  w=cos 2π7 +isin 2π 7 とし,

α=w+w 2+w4 β=w3 +w5+w 6

とする.このとき, w7= より,

α+β= αβ=

となるので,

α= + i2 β= - i2

が得られる.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(2) [A],[B]のいずれか一方を選択し,解答せよ.

[B] 関数 f( x)=log x および座標平面上の曲線 y=f (x) について,次の空欄 を適切な数または数式で埋めよ.ただし, logx x の自然対数を表す.

 曲線 y=f (x) x 軸および直線 x=3 で囲まれた部分の面積の値は である.

 曲線 y=f (x ) 1 x3 の長さ L は,

L= 13l (x) dx l(x )=1+ {f (x) }2 =x 2+1

により求めることができる. x2+1 =t とおくと, L は, t だけで表される数式 g( t)= を用いて,

L= 22 g(t )dt

と表される.ここで,不定積分 g(t) dt を求めると,

g (t) dt= +C C は積分定数)

となる.よって,

L=2-2 +1 2log 3

である.

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教育(小主免理系,中主免理系),工学部

工学部は【4】

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【2】 数列 {a n} を,

{ a1=5 an+1 =9an -16 n= 12 3

で定めるとき,数列 {a n} について次の各問に答えよ.

(1) 第 n an を求めよ.

(2) 数列 { bn} を,

bn=2 +22n +1 n= 12 3

で定める.すべての自然数 n に対し, bn- an 5 の倍数であることを,数学的帰納法を用いて証明せよ.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】  r>0 とする.点 O を原点とする座標平面において,中心が O 半径が r の円を C とする.傾きが - 13 であり,かつ C と第 1 象限で接する直線を l とし, l C との接点を A とする.また,点 B (r,0 ) を通り,かつ x 軸に垂直な直線と l との交点を D とし,線分 OD C との交点を E とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 直線 l の方程式を求めよ.

(2)  ▵OAD の面積を, r を用いて表せ.

(3)  ▵OAE の面積を, r を用いて表せ.

(4) (2)および(3)の結果を用いて, 3<π<3.5 を示せ.ただし, 3<1.74 を用いてよい.

2021 宮崎大学 前期

教育(小主免理系,中主免理系),医学部

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【4】  A B C D 4 人がそれぞれ袋を持っている.

A の袋には, 3 枚の札 B C D が入っている.

B の袋には, 3 枚の札 A C D が入っている.

C の袋には, 2 枚の札 A B が入っている.

D の袋には, 2 枚の札 A B が入っている.

 この 4 人の間で, 1 個の玉の受け渡しを次のように行う.

 (※)はじめに, A が玉を持っている.

A は自分の袋から無作為に 1 枚の札を取り出し,その札に書かれた人へ玉を手渡し,取り出した札を自分の袋へもどす.以降,「玉を手渡された人は自分の袋から無作為に 1 枚の札を取り出し,その札に書かれた人へ玉を手渡し,取り出した札を自分の袋へもどす」ことをくり返す.ただし, A が袋から札を取り出すとき,どの札も同じ確率で取り出されるものとする. B C D が袋から札を取り出すときも同様とする.

 (※)の状態から始めて,玉の受け渡しが n n 1 行われたとき,

A B C D が玉を持っている確率をそれぞれ An Bn Cn Dn

とする.また,(※)の状態において, A B C D が玉を持っている確率をそれぞれ A0 B0 C0 D0 とする.すなわち A0= 1 B0=0 C0=0 D0=0 である.このとき,次の各問に答えよ.なお,すべての n について Cn =Dn であることは,用いてよい.

(1)  A1 B1 C1 A2 B2 C2 を求めよ.

(2)  n が自然数のとき, An を, Bn-1 Cn- 1 を用いて表せ.また, Bn を, Cn-1 An- 1 を用いて表せ.さらに, Cn を, An-1 Bn -1 を用いて表せ.

(3)  n 0 または正の整数のとき, An を, n を用いて表せ.

(4)  limn An を求めよ.

2021 宮崎大学 前期

工学部

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【5】 関数 f( x)= logxx3 x> 0 および座標平面上の曲線 Cy =f(x ) について,次の各問に答えよ.ただし, logx x の自然対数を表す.

(1) 第 1 次導関数 f (x) 2 次導関数 f (x) を求めよ.

(2)  limx+0 f(x ) は,次の 3 通りのいずれかである.

limx+ 0f( x) は有限な値である

limx+ 0f( x)=

limx+ 0f( x)=-

この 3 通りのいずれであるのか,答えよ.ただし,有限な値であるときは,その値も求めよ.

(3) 関数 f( x) の増減,極値,曲線 C の凹凸,および変曲点を調べて,曲線 C の概形をかけ.ただし, limx log xx3 =0 であることは,既知としてよい.

2021 宮崎大学 前期

医学部

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【2】  a b を実数とする.このとき,変数 x の関数

f(x )=sin2 x+a (sinx +cosx) +b

について,次の各問に答えよ.

(1)  t=sinx+ cosx とおくとき, f(x ) を, t を用いて表せ.

(2)  x の方程式 f( x)=0 が少なくとも 1 つの実数解を持つようなすべての a b を,座標平面上の点 (a ,b) として図示せよ.

2021 宮崎大学 前期

医学部

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【3】 関数 f( x)= x2x2 +6x+10 および座標平面上の曲線 Cy =f(x ) について,次の各問に答えよ.

(1) 極限値 limx f(x )x を求めよ.

(2) (1)で求めた極限値を a とするとき,極限値 limx {f( x)-a x} を求めよ.

(3) 関数 f (x) の増減と極値,および曲線 C の漸近線を調べて,曲線 C の概形をかけ.

2021 宮崎大学 前期

医学部

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【5】 次の各問に答えよ.

(1) 次の空欄 を適切な整数で埋めよ.

  3x2 +10xy +8y2 +8x+10 y-3 を因数分解すると,

3x2 +10xy +8y2 +8x+10 y-3 =(x+a y+b) (3x +cy+d )

となる.このとき,定数 a b c d の値は

a= b= c= d=

である.

 これを用いて,等式

3x2 +10xy +8y2 +8x+10 y-9=0

を満たす整数 x y の組 (x ,y) を求めると,そのような組 (x ,y) 4 つあることがわかり,それらを x の値が小さい方から順に並べると,

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

となる.

2021 宮崎大学 前期

医学部

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【5】 次の各問に答えよ.

(2) [A],[B]のいずれか一方を選択し,解答せよ.

[A] 次の空欄 を適切な数で埋めよ.ただし, i は虚数単位とする.

 複素数

z1=2 +23 i z2=5 +53 i z3=5 -43+ (4+5 3) i

および α=1 +2i に対し, α z1 α z2 α z3 で表される複素数平面上の点をそれぞれ P1 P2 P3 とする.

 このとき, z3 1+3 i=x+ yi x y は実数)となる x y の値は x= y= である.また, |α| = である.さらに, P 1P2 P3 の面積は である.

2021 宮崎大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【5】 次の各問に答えよ.

(2) [A],[B]のいずれか一方を選択し,解答せよ.

[B] 次の空欄 を適切な数または数式で埋めよ.ただし, x だけを用いて表された数式, y だけを用いて表された数式, は整数で埋めよ.また, logx x の自然対数を表す.

 曲線 y=log x+x 242 x 2 の概形は右図のようになる.

  y=log x+x 242 のとき,

(2 ey-x) 2=

であり,

x=

である.

 曲線 y=log x+ x24 2 x 軸および直線 x=4 とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を V とする.体積 V は,

V= 24 dx

により求めることができる. log x+x 242 =t とおくと, V は, t だけで表される数式 f( t)= a=log (2+ 3) を用いて,

V= 0af (t) dt

と表される.ここで, 0 でない定数 k に対し,関数 t2 ekt の不定積分は

t2 ekt dt= ek tk3 ( )+C C は積分定数)

である.よって,

V=4π (a2 a+ )

である.

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