2021　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を実数とする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$が異なる解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとき，${\displaystyle \frac{{\alpha }^4-{\beta }^4}{\alpha -\beta }}$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　斜辺の長さが一定の直角三角形のうち，面積が最大のものは，直角二等辺三角形であることを示せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$\sin 1\text{，}$$\sin 2\text{，}$$\sin 3\text{，}$$\cos 1$という$4$つの数値を小さい方から順に並べよ．ただし，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$は，それぞれ$1$ラジアン，$2$ラジアン，$3$ラジアンを表す．

【２-１】　$0<a<1$とする．このとき，次の関数$f(x)$を考える．

$f(x)=x^3$$+3({\log }_{\frac{1}{4}}\sqrt{a}+{\log }_{\frac{1}{8}}4)x^2$$-4({\log }_{\frac{1}{4}}a)x-4{({\log }_{\frac{1}{4}}\sqrt{a})}^3$

(1)　$b={\log }_{\frac{1}{4}}a$とおく．関数$f(x)$を，対数が現れない形で，$b$を用いて表せ．

(2)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$を求めよ．

(3)　$f(x)$の極大値が${\displaystyle \frac{9}{2}}$であるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

【２-２】　曲線$y=\tan x$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を$C$とする．また，$C$上の点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{\pi }{3}},\sqrt{3})$における法線を$n$とする．

(1)　法線$n$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}$法線$n$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３-１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}$$(n+1)a_{n+1}=(n+3)a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{(n+2)(n+1)}}$とするとき，$b_{n+1}-b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　次の等式が$k$についての恒等式となるように，定数$p$の値を定めよ．

${\displaystyle \frac{1}{(k+3)(k+2)(k+1)}}$$={\displaystyle \frac{1}{p}}\{{\displaystyle \frac{1}{(k+2)(k+1)}}$$-{\displaystyle \frac{1}{(k+3)(k+2)}}\}$

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３-２】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$の三角形で，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=8$とする．$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{\angle ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【３-３】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードを袋の中に入れる．この袋の中から$2$枚のカードを同時に抜き出し，それらのカードの数の大きい方を$X\text{，}$小さい方を$Y$とする．

(1)　確率変数$X$の期待値$E(X)$を求めよ．

(2)　確率変数$X$と$Y$は互いに独立であるか，独立でないか，答えよ．

(3)　確率変数$XY$の期待値$E(XY)$を求めよ．

【４】　実数全体で微分可能な関数$f(x)$が

$f(x)=e^{-x}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(t)\mathit{dt})$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とし，以下では，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよいものとする．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，グラフの概形をかけ．

(3)　$a>0$とする．曲線$y=f(x)$と直線$y=1\text{，}$$x=0$および$x=a$で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．また，$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．

【５】　$\alpha$は複素数，$A$は実数で${\left|\alpha \right|}^2-A>0$を満たすものとする．複素数$z$に関する方程式

${\left|z\right|}^2+\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}+A=0$

を(★)とする．ただし，$\bar{\alpha }\text{，}$$\bar{z}$はそれぞれ$\alpha \text{，}$$z$の共役複素数とする．

(1)　(★)は円を表す方程式であることを示せ．また，この円の中心および半径を$\alpha$と$A$を用いて表せ．

(2)　複素数平面上の$0$でない異なる$2$点$z_1\text{，}$$z_2$が$z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}{z}_2=0$を満たすならば，$3$点$0\text{，}$$z_1\text{，}$$z_2$は同一直線上にあることを示せ．ただし，$\overline{z_1}\text{，}$$\overline{z_2}$はそれぞれ$z_1\text{，}$$z_2$の共役複素数とする．

(3)　複素数平面上の異なる$3$点$0\text{，}$$z_1\text{，}$$z_2$は同一直線上にないものとする．$3$点$0\text{，}$$z_1\text{，}$$z_2$を通る円が(★)で表されるとき，$A$の値を求め，さらに$\alpha$を$z_1$と$z_2$を用いて表せ．