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2021 鹿児島大学 AO理学部

数理情報科学プログラム

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x y について,(  )に正しくあてはまるものを下の(イ)〜(ニ)の中からひとつ選び,さらにその命題を証明せよ.

(1)  x=y= 0 は, x2+ xy+y 2=0 が成立するための(  ).

(2)  x<y は, z2< y2 が成立するための(  ).

(3)  x=y は, x2+ y2=2 |xy | が成立するための(  ).

(イ) 必要十分条件である.

(ロ) 必要条件であるが,十分条件でない.

(ハ) 十分条件であるが,必要条件でない.

(ニ) 必要条件でも十分条件でもない.

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易□ 並□ 難□

【2】  a>1 とする.極方程式

r= 1a+cos θ

で表される図形 C について,以下の問いに答えよ.

(1) 図形 C を,直交座標の x y の方程式で表せ.

(2) 図形 C を, xy 平面上に図示せよ.

(3) 極方程式 r= 2a sinθ-cos θ で表される図形と図形 C との共有点の個数を求めよ.

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【3】  0<a< 12 とし,次の 2 つの関数を考える.

f(x )=x3 -a2 x x0 ), g(x )=x2 -ax x0

(1)  xy 平面上で, y=f (x) y=g (x ) の原点以外の交点をすべて求めよ.また, f(x )>g (x) を満たす x の範囲を, a を用いて表せ.

  0xa y= f(x ) y=g (x ) が囲む部分の面積を S (a) とし, ax<1 y=f (x ) y=g (x ) が囲む部分の面積を T (a) とする.

(2)  S(a )-T (a) a を用いて表せ.

(3)  S(a )=T (a) となる a を求めよ.さらに, S(a )-T (a) 0<a <12 a の増加関数であることを示せ.

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【4】  ∠C が直角である直角三角形 ABC があり, ∠A=θ とおく.点 D は辺 AB 上にあり, AC=AD=1 を満たす.また,点 E は辺 BC 上にあり, ∠CDE=θ を満たす.

(1)  CD=2sin θ2 であることを示せ.

(2)  ∠BCD ∠CED θ を用いて表せ,

(3)  ▵CDE に対して正弦定理を使い, CE θ を用いて表せ.

(4)  limθ 0CE BC を求めよ.

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【5】  xy 平面で 2 つのベクトル a =(1, 2) b= (-1,0 ) を考える.初め動く点 P が原点 O にいる.確率 p 0 <p<1 で表が出るコインを繰り返し投げ,次の規則(ⅰ),(ⅱ)に従って点 P が移動する. n 回コインを投げた後に点 P が移動する点を P n とおく.

(ⅰ)  1 回目にコインを投げたとき,表が出たら OP 1= a 裏が出たら OP 1 =b を満たす点 P 1 に移動する.

(ⅱ)  n+1 回目にコインを投げたとき,表が出たら O Pn+ 1 =O Pn +a 裏が出たら O Pn+ 1 =O Pn +b を満たす点 P n+1 に移動する.

(1)  5 回コインを投げて表が 3 回,裏が 2 回出たとする.そのとき, O P5 a b で表せ.

(2)  2 回コインを投げた後, P2 y 軸上にある確率を求めよ.

(3)  n 回コインを投げた後, Pn y 軸上にある確率を求めよ.

(4)  n 回コインを投げた後, Pn y 座標の値の期待値を求めよ.必要ならば,次の式を証明なしに用いてよい.ただし, Ck n は二項係数である.

k=0n Ck n kpk ( 1-p) n-k =np

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