2021　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　関数$y=x^3{e}^{-x^2}$の増減，極値および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3{e}^{-x^2}=0\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3{e}^{-x^2}=0$であることは証明なしに用いてよい．

【２】　定積分

${\displaystyle {\int }_0^x}|3\sin x+\cos x|\mathit{dx}$

を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}$$\beta$は複素数で，$\alpha$の実部，虚部はどちらも$0$でない有理数であるとする．複素数平面上で$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$が正三角形の頂点となっているとき，$\beta$の実部，虚部はどちらも無理数であることを示せ．ただし$\sqrt{3}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

【４】　原点$\mathrm{O}$から出発して座標平面内を移動する点$\mathrm{A}$を考える．点$\mathrm{A}$は，$1$回ごとに，確率$p$で$x$軸の正の向きに$1$だけ移動し，確率$1-p$で$y$軸の正の向きに$1$だけ移動する．ここで$0<p<1$である．

　点$\mathrm{A}$が$14$回移動するとき，

・$E$を「点$\mathrm{A}$が座標平面内の点$\mathrm{P}$$(5,4)$を通る」という事象

・$F$を「点$\mathrm{A}$が座標平面内の点$\mathrm{Q}$$(7,7)$に到達する」という事象

とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　事象$E$が起こる確率$P(E)$を求めよ．

問２　事象$E$が起こったときの事象$F$の条件付き確率$P_E(F)$を求めよ．

問３　事象$F$が起こったときの事象$E$の条件付き確率$P_F(E)$を求めよ．