2021　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において

$\sin C=2\cos A\sin B$

であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$はどのような形をしているか．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　自然数$n$に対して

$N={(n+2)}^3-n(n+1)(n+2)$

が$36$の倍数になるような$n$をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　体積が${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\pi$の直円錐において，直円錐の側面積の最小値を求めよ．ただし直円錐とは，底面の円の中心と頂点とを結ぶ直線が，底面に垂直である円錐のことである．

【２】　$k$は実数で$0<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．面積が$S$である三角形$\mathrm{ABC}$の三辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$を

${\displaystyle \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{BC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CA}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}}=k$

となるようにとる．次に，$\mathrm{AL}$と$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{BM}$と$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{AL}$と$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$T$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$U$とするとき，${\displaystyle \frac{U}{S}}$を$k$で表せ．

(2)　$T>{\displaystyle \frac{1}{2}}S$となるための$k$に関する条件を求めよ．

【３】　$k\text{，}$$m\text{，}$$n$は自然数とする．ある箱に，白い球が$m$個，赤い球が$n$個入っている．この箱から無作為に球を$1$個取り出して，球の色を確認してから元の箱に戻す試行を繰り返す．白い球が合計$k$回箱に戻された時点で終了する．このときの試行の回数が$x$回$\text{（}x\geqq k\text{）}$である確率を$p_k(x)$とする．

(1)　$p_k(k)$と$p_k(k+1)$を$k\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{p_k(x+1)}{p_k(x)}}$を$k\text{，}$$m\text{，}$$n\text{，}$$x$を用いて表せ．

(3)　$m=3\text{，}$$n=7$であるとき，$p_2(x)$の最大値を求めよ．

【４】　$a>0$に対して$f(x)={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$における接線を$l$とし，直線$l\text{，}$直線$x=0\text{，}$曲線$y=f(x)$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)　直線$l$の$y$切片を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$l$は，点$\mathrm{P}$以外に共有点を持たないことを示せ．

(3)　領域$D$の面積を$a$を用いて表せ．

(4)　領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$a$を用いて表せ．