2021　公立千歳科学技術大学　中期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$\{\begin{array}{l}{2}^y+{\log }_{2}x={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ 2^{2y}+(2^y+{\log }_{2}x){\log }_{2}x={\displaystyle \frac{21}{4}}\end{array}$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$-36x^2+60x-25<0$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$f(x)={(x^2+4x)}^3$について$f^{\prime }(x)$を求めなさい．結果は，$x$の降べきの順に整理しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$z^2=-4i$を満たす複素数$z$を求めなさい．なお$i=\sqrt{-1}$である．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$y={(1-|x|)}^2-1$において，$y$の最小値およびそのときの$x$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-4x-4\text{，}$$g(x)=x^2-2x$について以下の空欄に適する条件を語群から選び，解答欄に(a)〜(d)を記入しなさい．

$\text{①}$　$x\geqq 3$であることは，$f(x)>0$であるための$$

$\text{②}$　$g(x)>0$であることは，$f(x)>0$であるための$$

$\text{③}$　$f(x)>0$かつ$g(x)>0$であることは，$x>2$であるための$$

$\text{④}$　$f(x)>g(x)$であることは，$x>2$であるための$$

語群

(a)　必要十分条件である．

(b)　必要条件であるが，十分条件ではない．

(c)　十分条件であるが，必要条件ではない．

(d)　必要条件でも十分条件でもない．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　座標空間に中心が原点$\mathrm{O}$である半径$1$の球がある．平面$x={\displaystyle \frac{3}{4}}$でこの球を$2$つの部分に分割するとき，体積が小さい方の立体の体積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x}}$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　${\cos }^{2}x\leqq 2^{1+\cos 3x}$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　${\cos }^{2}x=2^{1+\cos 3x}$を満たす$x$の値を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【３】　$n$を正の整数とするとき，$3^n-1\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(n+3)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【４】　座標平面上において，曲線$C\text{：}y=x^3+3x^2$に，点$\mathrm{A}$$(2,a)$から$3$本の接線が引けるとき，$a$の範囲を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【５】　$n$を正の整数とするとき，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を以下の手順で求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{12n{a}_n+3}}$

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とするとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表しなさい．

(2)　数列$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とするとき，$\{c_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　数列$\{b_n\}$と数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．