2021　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　実数$x$が，${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi <x<\pi$および${\displaystyle \frac{1}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{1}{\sin x}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$をみたすとする．以下の問いに答えよ．

問１　$\cos x+\sin x$の値を求めよ．

問２　$\cos 2x+\sin 2x$の値を求めよ．

問３　$\cos 3x+\sin 3x$の値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　方程式$39x-17y=1$の整数解をすべて求めよ．

問２　方程式$39x-17y=1$のどんな整数解$(x,y)$についても，$x\text{，}$$y$が互いに素であることを示せ．

問３　座標平面上で，$x$座標，$y$座標がともに整数である点と直線$2(39x-17y)=7$の距離の最小値を求めよ．さらに，そのときの点を$1$つ求め，その座標を答えよ．

【１】　$3$の累乗を分母とする$0$より大きく$1$より小さい既約分数を次のように並べた数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を考える．

${\displaystyle \frac{1}{3}},$${\displaystyle \frac{2}{3}},$${\displaystyle \frac{1}{9}},$${\displaystyle \frac{2}{9}},$${\displaystyle \frac{4}{9}},$${\displaystyle \frac{5}{9}},$${\displaystyle \frac{7}{9}},$${\displaystyle \frac{8}{9}},$${\displaystyle \frac{1}{27}},$${\displaystyle \frac{2}{27}},$${\displaystyle \frac{4}{27}},\cdots$

この数列を次のように群に分ける．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}}|}$$\underset{\text{第}2\text{群}}{{\displaystyle \frac{1}{9}},{\displaystyle \frac{2}{9}},{\displaystyle \frac{4}{9}},{\displaystyle \frac{5}{9}},{\displaystyle \frac{7}{9}},{\displaystyle \frac{8}{9}}|}$${\displaystyle \frac{1}{27}},{\displaystyle \frac{2}{27}},{\displaystyle \frac{4}{27}},\cdots$

　ここで，第$m$群$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$には$3^m$を分母とするすべての既約分数が入り，$a_n$と$a_{n+1}$が同一の群に含まれるとき，$a_{n+1}>a_n$が成り立つ．以下の問いに答えよ．

問１　第$m$群に含まれる項の数を$m$を用いて表せ．

問２　$k$を$3^m$未満の$3$の倍数でない自然数とし，$k$を$3$で割ったときの商を$q\text{，}$余りを$r$とする．$r$の取りうる値をすべて求めよ．また，$q$の取りうる値の最大値を$m$を用いて表せ．さらに，$a_n={\displaystyle \frac{k}{3^m}}$をみたす$n$を$m\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

問３　$a_{350}$を求めよ．

問４　$a_1$から第$5$群の最後の項までの和を求めよ．

【２】　座標平面上において，$y={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-x^2)$であたえられる放物線を$A$とする．以下の問いに答えよ．

問１　放物線$A$上の点と点$(0,b)$との距離の最小値を$b$を用いて表せ．ただし，$b<{\displaystyle \frac{7}{6}}$とする．

問２　中心が点$(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})\text{，}$半径が${\displaystyle \frac{2}{3}}$の円と放物線$A$の共有点をすべて求めよ．

問３　問２であたえた円と放物線$A$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．さらに，曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかき，変曲点を図示せよ．

問２　座標平面上の$2$点$(0,f(0))\text{，}$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}，f({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\left)\right)$を通る直線を$l$とする．直線$l\text{，}$直線$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}，$$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

問３　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

問４　問２および問３で求めた値を比較し，$\pi >3$であることを示せ．

【２】　自然数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}x\mathit{dx}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$I_1$と$I_2$をそれぞれ求めよ．

問２　$n\geqq 3$のとき，$I_n$を$n$と$I_{n-2}$を用いて表せ．さらに，$n$が偶数と奇数の$2$つの場合に分けて$I_n$を$n$を用いて表せ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_{2n}^2$を求めよ．ここで，不等式

$n{I}_{2n}{I}_{2n+1}<n{I}_{2n}^2<n{I}_{2n-1}{I}_{2n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を証明なしに用いてよい．