2021　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　半径$r$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{CD}=3\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{DA}=5$である．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$\mathrm{\angle DAB}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

[問２]　$\mathrm{BD}$の長さを求めなさい．

[問３]　$r$の値を求めなさい．

[問４]　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$\text{'}0\text{'}$と$1$文字だけ書かれたカードが$4$枚，$\text{'}1\text{'}$と$1$文字だけ書かれたカードが$4$枚ある．この$8$枚のカードすべてを横一列に並べ，それを二進法で表された数とみなす．$1$である最大の桁より大きい桁の$0$は無視するものとし，例えば，$\text{'}0\text{'}\text{，}$$\text{'}1\text{'}\text{，}$$\text{'}1\text{'}\text{，}$$\text{'}1\text{'}\text{，}$$\text{'}0\text{'}\text{，}$$\text{'}0\text{'}\text{，}$$\text{'}0\text{'}\text{，}$$\text{'}1\text{'}$の順にカードを並べたときは，${1110001}_{(2)}$となる．次の設問に答えなさい．

(a)　カードを並べた結果できる数の最小値を十進法で答えなさい．

(b)　カードの並べ方が全部で何通りあるか求めなさい．

(c)　カードを並べた結果できる数が$4$の倍数である並べ方は何通りあるか求めなさい．

(d)　カードを$2$回並べる．$1$回目にカードを並べた結果できる数と$2$回目にカードを並べた結果できる数の積が$4$の倍数である並べ方は何通りあるか求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　整式$P(x)$を$x^2+4x+4$で割ったときの余りが$-x-4$であり，$x^2-4x+3$で割ったときの余りが$3x-1$である．$P(x)$を$x^2-x-6$で割ったときの余りを求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　ある等差数列の第$n$項を$a_n$とするとき，

$a_{37}+a_{38}+a_{39}+a_{40}+a_{41}=1445$

$a_{202}+a_{206}=-412$

が成り立つ．次の設問に答えなさい．

(a)　この等差数列の初項と公差を求めなさい．

(b)　この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最大となる$n$を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　正の整数$n$に対して，

${(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n)}^2$$={a_1}^3+{a_2}^3+{a_3}^3+\cdots +{a_n}^3$

が成り立っている．ただし，$a_n>0$である．次の設問に答えなさい．

(a)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$の値をそれぞれ求めなさい．

(b)　$a_n$を表す式を予想し，その式が正しいことを証明しなさい．

【４】　定数$a$$\text{（}a>0\text{）}$について，曲線$C\text{：}y=x^3-2a{x}^2+a^{2}x$$\text{（}x\leqq a\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．同様に，$C$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{a^2}{4}}x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a=\sqrt{3}$であるとき，次の設問に答えなさい．

(a)　$C$と$x$軸の共有点の$x$座標をすべて答えなさい．

(b)　$S_1$の値を求めなさい．

(c)　$C$と$l$の共有点の$x$座標をすべて答えなさい．

(d)　$S_2$の値を求めなさい．

{問２]　$a$の値によらず，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$は常に一定であることを示しなさい．