2021　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　$6$個の値$0\text{，}$$2\text{，}$$4\text{，}$$7\text{，}$$9\text{，}$$5$からなるデータの平均値と分散を求めよ．値は既約分数で答えよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　次の連立不等式を解け．

$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x-21<0\\ x^2-4x-13\geqq 0\end{array}$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　実数$a\text{，}$$b$に対して，$3$次方程式$2x^3+3x^2+ax-b=0$の$1$つの解が$i$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．また，他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　$x\geqq 0$のとき，次の不等式が成り立つような定数$k$の値の範囲を求めよ．

$x^3+3x^2-9x+k>0$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　$f(x)=2^{x+2}+2^{-x+4}$の最小値とそのときの$x$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{．}$$B\text{．}$$C$とする．$a=2\text{，}$$B=30\mathrm{°}\text{，}$$C=15\mathrm{°}$のとき，次の各問に答えよ．

(1)　$b$の値を求めよ．

(2)　(1)の結果と余弦定理$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$を利用して求まる，$c$の値を$2$つ求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$つの値のうち，適切なものを選べ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

【３】　次の問１，問２に答えよ．

問１　実数$a\text{，}$$b$$\text{（}b\ne 0\text{）．}$$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D\text{，}$複素数$\alpha =a+bi$に対して，次を証明せよ．

$A\alpha +B=C\alpha +D$$⟺A=C\text{，}$$B=D$

問２　複素数$\alpha$が${\alpha }^2+2\alpha +3=0$を満たすものとする．次の各問に答えよ．

(1)　$({\alpha }^3+2{\alpha }^2+3\alpha +4)(a^4+2{\alpha }^3+3{\alpha }^2+4\alpha +5)$$=A\alpha +B$を満たす実数$A\text{，}$$B$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1}{{\alpha }^3}}=C\alpha +D$を満たす実数$C\text{，}$$D$の値を求めよ．

【４A】　次の各問に答えよ．

(1)　$2$桁の$8$進数のうち，先頭の位が$0$でない，最小の値と最大の値を$2$進法で表せ．

(2)　$n\text{，}$$b\text{，}$$p$をそれぞれ$2$以上の整数とする．次の各問に答えよ．

(ⅰ)　$1$桁の$b^p$進数が表す最大の値を求め，$10$進数で答えよ．

(ⅱ)　$n$桁の$b^p$進数が表す最大の値を求め，$10$進数で答えよ．

(ⅲ)　$n$桁の$b^p$進数で表される最大の値を$b$進法で表すとき，その桁数と$1$桁目（最も右の桁）の値を求めよ．

【４B】　実数$b\text{，}$$c$に対して，空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,b,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,c)$は同一平面上にある．次の各問に答えよ．

(1)　$c$を$b$で表せ．

(2)　四角形$\mathrm{OABC}$が平行四辺形になるとき，$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．