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2021-11081-0201
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2021 宮城大学 後期
事業構想,食産業学群
易□ 並□ 難□
【1】 次の問1〜問5に答えよ.
問1 5 人の生徒に試験を実施したところ, 5 人の得点は 58 , 64, 68, x, 85 (点)であった.この 5 人の得点の平均値が 71 (点)のときの x を求めよ.さらに,そのときの 5 人の得点の分散を求めよ.
2021-11081-0202
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問2 m を実数とする. 2 次方程式 x2 -2⁢m⁢x +7=0 が異なる 2 つの実数解をもつとき, m の値の範囲を求めよ.
2021-11081-0203
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問3 次の等式が x についての恒等式となるように,定数 a , b の値を求めよ.
7- 12⁢x( x-1)⁢ (2-3⁢ x) =ax −1+ b2- 3⁢x
2021-11081-0204
問4 次の関数の最大値と最小値を求めよ.
y=sin2⁡ θ+2⁢sin⁡ θ⁢cos⁡θ +3⁢cos2 ⁡θ
2021-11081-0205
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問5 次の等式を満たす関数 f⁡ (x) と定数 a の値を求めよ.
∫ax f⁡( t)⁢dt =x2-x +1-a
2021-11081-0206
【2】 1 個 200 円のチョコレート, 1 個 150 円のアイスクリーム, 1 個 100 円のおにぎりを次の条件のとおりに購入する.
・どの品物も少なくとも 1 個は購入する.
・ 3 種類あわせて 20 個購入する.
・おにぎりの個数はチョコレートの個数の 2 倍とアイスクリームの個数の和に等しい.
・支払い金額は 3000 円未満とする.
・チョコレートをなるべく多く購入する.
このとき,それぞれの商品の購入個数を求めよ.ただし消費税その他の付加的な支払いはないものとする.
2021-11081-0207
【3】 次の関数に関して以下の問に答えよ.
f⁡(x )= 12⁢ ( |x+1 |+|x -1| )
(1) 関数 f⁡ (x) を x に関する場合分けを行い,絶対値を用いずに表せ.
(2) 関数 y=f ⁡(x ) のグラフをかけ.
(3) 方程式 f⁡( x)=0 を解け.
(4) 方程式 f⁡( x)=1 を解け.
(5) 自然数 n≧2 に対して,方程式 f⁡( x)=n を解け.
(6) x≧0 に対して,定積分 F⁡ (x)= ∫0x f⁡( t)⁢ dt を求めよ.
(7) 自然数 n≧2 に対して,関数 y=f ⁡(x ) のグラフと直線 y=n によって囲まれた部分の面積 Sn を求めよ.
2021-11081-0208
【4A】,【4B】から1題選択
【4A】 次の各問に答えよ.
(1) 次の条件を満たす自然数 n を求めよ.
n2≦2021 <(n+ 1)2
(2) 2021 を素因数分解せよ.
(3) 17⁢x+19 ⁢y=2021 を満たす自然数の組 (x ,y) の個数を求めよ.
2021-11081-0209
【4B】 n が 3 以上の自然数であるとき,次の不等式を以下に挙げたそれぞれの指示に従って証明せよ.
2n≧n 2-n+2 ⋯①
(1) n≧3 に注意して,数学的帰納法によって証明せよ.
(2) 二項定理 ( a+b)n =∑ k=0n an-k ⁢bk⁢ Ck n を利用して数学的帰納法を用いずに証明せよ.