2021　会津大学　推薦MathJax

【１】　以下の空欄をうめよ．

(1)　$2021$と$9761$の最大公約数は$\text{イ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(2)　$({\log }_{2}9+{\log }_{8}3)({\log }_{3}4+{\log }_{9}4)$を求めると$\text{ロ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(3)　方程式$4^x-2^{x+1}-15=0$の解は$x=\text{ハ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(4)　方程式$3x^2-2x+5=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3=\text{ニ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(5)　点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\cos \mathrm{\angle AOB}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$である．$\mathrm{\angle ACB}$が鋭角であるとき，$\mathrm{AB}=\text{ホ}\text{，}$$\mathrm{AC}=\text{へ}$である．

【２】　袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個と赤玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$2$個と赤玉$3$個が入っている．以下の空欄をうめよ．

(1)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個とり出し，つづけて袋$\mathrm{B}$からも玉を$1$個とり出すとき，どちらも赤玉である確率は$\text{イ}$である．

(2)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個とり出し，それをもとに戻さないで，つづけて袋$\mathrm{A}$から玉をもう$1$個とり出すとき，どちらも赤玉である確率は$\text{ロ}$である．

(3)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個とり出して袋Bに入れ，よくかきまぜて，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個とり出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$の赤玉の個数が初めと変わらない確率は$\text{ハ}$である．

(4)　$1$個のさいころを投げて，$1$の目が出たら袋$\mathrm{A}$から，$1$以外の目が出たら袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個とり出す．とり出した玉が赤玉であったとき，それが袋$\mathrm{A}$に入っていた玉である確率は$\text{ニ}$である．

【３】　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$がある．線分$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$三角形$\mathrm{LMN}$の重心を${\mathrm{G}}^{\prime }$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\text{イ}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^{\prime }}=\text{ロ}$である．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$${\mathrm{G}}^{\prime }$が一直線上に並ぶとき，$s=\text{ハ}$である．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^{\prime }}=\text{ニ}$である．

【４】　関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$について以下の空欄をうめよ．

(1)　$f(x)$は，$x=\text{イ}$のとき，極大値$\text{ロ}$をとり，$x=\text{ハ}$のとき，極小値$\text{ニ}$をとる．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x-1$の$3$つの共有点の座標は$\text{ホ}$であり，このうち$x$座標が正である点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積は$\text{へ}$である．