2021　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　$b$を実数とする．数列$27,b,{\displaystyle \frac{1}{3}}$がこの順に等比数列であるとき，$b$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$100$人のうち，$\mathrm{A}$市，$\mathrm{B}$市，$\mathrm{C}$市に行ったことのある人の集合をそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表すと次の通りであった．

$n(A)=32\text{，}$$n(B)=23\text{，}$$n(C)=44\text{，}$$n(A\cap C)=8\text{，}$

$n(B\cap C)=9\text{，}$$n(A\cap B\cap C)=3\text{，}$$n(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})=22$

ただし，集合$A$の補集合を$\bar{A}$で表し，集合$A$の要素の個数を$n(A)$で表す．

(a)　$\mathrm{A}$市，$\mathrm{B}$市，$\mathrm{C}$市の少なくとも$1$つに行ったことのある人は何人いるか．

(b)　$\mathrm{A}$市と$\mathrm{B}$市の両方に行ったことのある人は何人いるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　$(2x+1)(y+1)=12$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の組を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　不等式$|x-1|+\left|x\right|\leqq 2$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(5)　関数$y=(3x-1)(2x+5)$を$x$で微分せよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　不等式${\log }_2(3x-5)-{\log }_{\frac{1}{2}}x\geqq 1$を解け．

【２】　次の各問に答えよ．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(3)　円$x^2+y^2=9$に接し，傾きが${\displaystyle \frac{3}{2}}$である直線の方程式を求めよ．

【３】　等式$f(x)=x^2+x+2{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【４】　$3$点$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$の定める平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$r\text{，}$$s\text{，}$$t$を実数とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$から$9r-4s=0\text{，}$$9r-t=0$であることを導け．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．